Русская Википедия:Числа Каллена
В математике числами Каллена называют натуральные числа вида <math>n \cdot 2^n + 1</math> (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.
Свойства
В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых <math>n \leq x</math>, для которых Cn простое, есть o(x) для <math>x\to\infty</math>. В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел <math>n \cdot 2^{n+a} + b</math> где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:
- 1, 161, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 Шаблон:OEIS.
Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.
К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было <math>6679881 \cdot 2^{6679881} + 1</math>. Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.[1]
Числа Каллена Cn делятся на <math>p=2n-1</math>, если p простое число вида <math>8k-3</math>. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит Cm(k) для каждого <math>m(k) =(2^k-k)(p-1)-k</math> (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит <math>C_{(p+1)/2}</math>, когда символ Якоби <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> есть −1, и что p делит <math>C_{(3p-1)/2}</math>, когда символ Якоби <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> есть +1.
Неизвестно, существует ли простое число p, такое что Cp тоже простое.
Обобщения
Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида <math>n \cdot b^n + 1</math>, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.
К февралю 2012 года наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было <math>427194 \cdot 113^{427194} + 1</math>. Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.[2]
Ссылки
Дальнейшее чтение
Ссылки
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages.
- The Prime Glossary: Cullen number at The Prime Pages.
- Шаблон:MathWorld
- Cullen prime: definition and status (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at PrimeGrid
- Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers
