Русская Википедия:Числа Леонардо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Числа Леонардо — последовательность чисел, задаваемая зависимостью:

<math>

 L(n):=  
 \begin{cases}
   1               & \text{если } n = 0; \\
   1               & \text{если } n = 1; \\
   L(n-1)+L(n-2)+1 & \text{если } n > 1. \\
  \end{cases}
</math>

Эдсгер Дейкстра использовал их как составную часть своего алгоритма плавной сортировки, и изучил их некоторые особенности.

Взаимосвязь с числами Фибоначчи

Числа Леонардо связаны с числами Фибоначчи через формулу<math>L(n) = 2 F(n+1) - 1, n \geqslant 0</math>.

Из этой формулы прямо следует выражение для чисел Леонардо, аналогичное формуле Бине для чисел Фибоначчи:

<math>L(n) = 2 \frac{\varphi^{n+1} - (1-\varphi)^{n+1}}{\varphi - (1-\varphi)} - 1 = \frac{2}{\sqrt 5} \left(\varphi^{n+1} - (1-\varphi)^{n+1}\right) - 1</math>

где <math>\varphi=(1+\sqrt 5)/2</math> является золотым сечением, и кроме того <math>\varphi</math> и <math>1-\varphi=(1-\sqrt 5)/2</math> являются корнями квадратного уравнения <math>x^2-x-1=0.</math>

Первые двадцать членов последовательности чисел Леонардо таковы:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 —

Шаблон:OEIS

Отношение соседних чисел Леонардо, так же, как и соседних чисел Фибоначчи, стремится к золотому сечению.