с начальными значениями <math>L_0 = 2</math> и <math>L_1 = 1</math> и сопряжены с числами Фибоначчи. Эти числа названы в честь французского профессора Эдуарда Люка. Последовательность чисел Люка начинается так:
где <math> \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} </math> — золотое сечение. При Шаблон:Nums число |(−φ)−n| меньше 0,5 и с ростом n всё сильнее приближается к нулю, а значит, при Шаблон:Nums числа Люка выражаются в виде <math>L_n = \lfloor \varphi^n\rceil,</math> где <math>\lfloor\cdot\rceil</math> — функция округления к ближайшему целому.
Примечательно, что числа Фибоначчи <math>F_n</math> выражаются похожим образом с помощью формулы Бине:
Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число p простым, возьмём (Шаблон:Nums)-ое число Люка, вычтем из него единицу — и если полученное число не делится на p нацело, то p гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.
В качестве примера проверим, является ли число 14 простым. 15-ое число Люка — 843.
Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами
<math>L_n = F_{n-1}+F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}</math>
<math>L_{m+n} = L_{m+1}F_{n}+L_mF_{n-1}</math>
<math>L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n</math>, и при стремлении <math>n</math> к +∞ отношение <math>\frac{L_n}{F_n}</math> стремится к <math>\sqrt{5}.</math>
<math>F_{2n} = L_n F_n</math>
<math>F_{n+k} + (-1)^k F_{n-k} = L_k F_n</math>
<math>F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}</math>
Обобщения
Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:
