Русская Википедия:Числа Пизо
Число Пизо[1][2] (или число Пизо—Виджаярагхавана[3][4], или PV-число) — любое алгебраическое целое число, большее единицы, модули всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году[5], изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями[6], но получили известность после публикации диссертации Шаблон:Не переведено 5 в 1938[7]. Исследования продолжили Шаблон:Не переведено 5 и Рафаэль Салем в 1940-х годах.
С числами Пизо тесно связаны числа Салема: это такое число, что модули всех его сопряжённых не больше 1 и среди них присутствует единичный.
Свойства
Чем больше натуральный показатель степени PV-числа, тем больше эта степень приближается к целому числу. Пизо доказал, что среди нецелых положительных алгебраических чисел, модули которых больше 1, это свойство является исключительным для PV-чисел: если вещественное число <math>\alpha>1</math> таково, что последовательность расстояний <math>\|\alpha^n\|</math>[8] от его степеней до множества целых чисел принадлежит <math>l_2</math>Шаблон:Прояснить, то <math>\alpha</math> — число Пизо (и, в частности, <math>\alpha</math> — алгебраическое).
Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения <math>x^3-x-1=0</math>, известный как пластическое число.[2]
Квадратичные иррациональности, являющиеся числами Пизо:
| Значение | многочлен | Числовое значение |
|---|---|---|
| <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> | <math>x^2-x-1</math> | 1,618034… (золотое сечение) |
| <math>1+\sqrt{2}</math> | <math>x^2-2x-1</math> | 2,414214… (серебряное сечение) |
| <math>\frac{3+\sqrt{5}}{2}</math> | <math>x^2-3x+1</math> | 2,618034… Шаблон:OEIS2C |
| <math>1+\sqrt{3}</math> | <math>x^2-2x-2</math> | 2,732051… Шаблон:OEIS2C |
| <math>\frac{3+\sqrt{13}}{2}</math> | <math>x^2-3x-1</math> | 3,302776… Шаблон:OEIS2C (бронзовое сечение) |
| <math>2+\sqrt{2}</math> | <math>x^2-4x+2</math> | 3,414214… |
| <math>\frac{3+\sqrt{17}}{2}</math> | <math>x^2-3x-2</math> | 3,561553.. Шаблон:OEIS2C. |
| <math>2+\sqrt{3}</math> | <math>x^2-4x+1</math> | 3,732051… Шаблон:OEIS2C |
| <math>\frac{3+\sqrt{21}}{2}</math> | <math>x^2-3x-3</math> | 3,791288…Шаблон:OEIS2C |
| <math>2+\sqrt{5}</math> | <math>x^2-4x-1</math> | 4,236068… Шаблон:OEIS2C |
Примечания
- ↑ Шаблон:Статья
Шаблон:Статья - ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Mathworld
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Axel Thue, " Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann ", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
- ↑ Godfrey H. Hardy, " A problem of diophantine approximation ", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
- ↑ Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
- ↑ Здесь <math>\|a\|</math> обозначает расстояние от <math>a</math> до <math>\Z</math>, то есть <math>\min(\{a\},1-\{a\})</math>, где <math> \{a\} </math> — дробная часть числа <math> a </math>.
