Русская Википедия:Числа Сабита
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Числа Сабита — натуральные числа, задающиеся формулой <math>3 \cdot 2^n - 1</math> для целых неотрицательных <math>n . </math>
Первые числа Сабита[1][2] — это
- <math>2 \; , \; 5 \; , \; 11 \; , \; 23 \; , \; 47 \; , \; 95 \; , \; 191 \; , \; 383 \; , \; 767 \; , \; 1535 \; , \; 3071 \; , \; 6143 \; , \; 12287 \; , \; 24575 \; , \; 49151 \; , \; 98303 \; , \; 196607 \; , \; 393215 \; , \; 786431 \; , \; 1572863 \; , \; \ldots </math>
- (Шаблон:OEIS.)
Последовательность названа в честь иракского математика девятого века Сабит Ибн Курра, исследовавшим такие числа.[3]
Свойства
- Двоичное представление числа Сабита <math>3 \cdot 2^n - 1</math> имеет длину <math>n+2 . </math>
- Некоторые числа Сабита являются простыми:
- <math>2 \; , \; 5 \; , \; 11 \; , \; 23 \; , \; 47 \; , \; 191 \; , \; 383 \; , \; 6143 \; , \; 786431 \; , \; 51539607551 \; , \; 824633720831 \; , \; \ldots</math>
- (Шаблон:OEIS.)
- <math>2 \; , \; 5 \; , \; 11 \; , \; 23 \; , \; 47 \; , \; 191 \; , \; 383 \; , \; 6143 \; , \; 786431 \; , \; 51539607551 \; , \; 824633720831 \; , \; \ldots</math>
- По состоянию на апрель 2008 года известны следующие значения <math>n , </math> дающие простые числа:
- <math>0 \; , \; 1 \; , \; 2 \; , \; 3 \; , \; 4 \; , \; 6 \; , \; 7 \; , \; 11 \; , \; 18 \; , \; 34 \; , \; 38 \; , \; 43 \; , \; 47 \; , \; 55 \; , \; 64 \; , \; 76 \; , </math>
- <math>94 \; , \; 103 \; , \; 143 \; , \; 206 \; , \; 216 \; , \; 306 \; , \; 324 \; , \; 391 \; , \; 458 \; , \; 470 \; , \; 827 \; , \; 1274 \; , \; 3276 \; , \; 4204 \; , \; 5134 \; , </math>
- <math>7559 \; , \; 12676 \; , \; 14898 \; , \; 18123 \; , \; 18819 \; , \; 25690 \; , \; 26459 \; , \; 41628 \; , \; 51387 \; , \; 71783 \; , \; 80330 \; , \; 85687 \; , \; 88171 \; , \; 97063 \; , </math>
- <math> 123630 \; , 155930 \; , \; 164987 \; , \; 234760 \; , \; 414840 \; , \; 584995 \; , \; 702038 \; , \; 727699 \; , \; 992700 \; , \; 1201046 \; , \; 1232255 \; , \; 2312734 \; , \; 3136255 \; , \; \ldots </math>
- <math>7559 \; , \; 12676 \; , \; 14898 \; , \; 18123 \; , \; 18819 \; , \; 25690 \; , \; 26459 \; , \; 41628 \; , \; 51387 \; , \; 71783 \; , \; 80330 \; , \; 85687 \; , \; 88171 \; , \; 97063 \; , </math>
- (Шаблон:OEIS.)
- <math>94 \; , \; 103 \; , \; 143 \; , \; 206 \; , \; 216 \; , \; 306 \; , \; 324 \; , \; 391 \; , \; 458 \; , \; 470 \; , \; 827 \; , \; 1274 \; , \; 3276 \; , \; 4204 \; , \; 5134 \; , </math>
- <math>0 \; , \; 1 \; , \; 2 \; , \; 3 \; , \; 4 \; , \; 6 \; , \; 7 \; , \; 11 \; , \; 18 \; , \; 34 \; , \; 38 \; , \; 43 \; , \; 47 \; , \; 55 \; , \; 64 \; , \; 76 \; , </math>
- Простые числа Сабита для <math>n > 164987</math> были найдены в ходе распределённых вычислений «321 search».[4] Наибольшее из известных простых чисел Сабита (<math>3 \cdot 2^{4235414} - 1</math>) длиной в 1274988 знаков и было найдено Dylan Bennett в апреле 2008 года. Прошлым рекордом было число <math>3 \cdot 2^{3136255} - 1</math> найденное Paul Underwood в марте 2007 года.
Связь с дружественными числами
Если и <math>n , </math> и <math>n - 1</math> являются числами Сабита, и если <math>9 \cdot 2^{2n - 1} - 1</math> — простое, то пара дружественных чисел может быть найдена как
- <math>2^n(3 \cdot 2^{n - 1} - 1)(3 \cdot 2^n - 1)</math> и <math>2^n(9 \cdot 2^{2n - 1} - 1) . </math>
Числа Сабита второго рода
- Числа, записываемые формулой <math>3 \cdot 2^n+1</math> называются числами Сабита второго рода.
- Первые числа Сабита второго рода:
- <math>4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ...</math>
- Первые простые числа Сабита второго рода (Шаблон:OEIS):
- <math>7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ...</math>
- Первые значения <math>n</math>, при которых <math>3 \cdot 2^n+1</math> простые:
- <math>1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, ... </math> (Шаблон:OEIS).
Примечания
Ссылки
