Русская Википедия:Числа Салема
В математике числом Салема является вещественное целое алгебраическое число Шаблон:Nums, все сопряжённые которого имеют модуль не больше 1 и по крайней мере одно из них имеет единичный модуль. Числа Салема представляют интерес для диофантовых приближений и гармонического анализа. Они названы в честь французского математика Рафаэля Салема.
Свойства
Поскольку число Салема имеет сопряжённое число с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть Шаблон:Iw. Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение, точно равное 1. Как следствие, число α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.
Каждое число Салема является числом Перрона (алгебраическим целым числом, большим 1, модуль которого больше, чем у всех его сопряжённых).
Связь с числами Пизо—Виджаярагхавана
Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)
- <math>P(x) = x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1,</math>
значение которого Шаблон:Nums; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера для неприводимого нециклического полинома[1].
Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,
- <math>Q(x) = x^{12} - x^7 - x^6 - x^5 + 1,</math>
все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению[2]
- <math>x^{630}-1 = \frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^2(x^{90}-1)(x^{3}-1)^3(x^{2}-1)^5(x-1)^3 }{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^2(x^{14}-1)^2(x^{5}-1)^6\,x^{68}}</math>.
Числа Салема тесно связаны с числами Пизо — Виджаярагхавана (PV-числами). Наименьшим из PV-чисел является единственный вещественный корень полинома 3-й степени
- <math> x^3 - x - 1, </math>
известный как «пластическое число» и приблизительно равный 1,324718. PV-числа можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий способ — это взять минимальный полином P(x) PV-числа степени n и его обратный полином P*(x) (коэффициенты которого, грубо говоря, образуются «отражением» коэффициентов многочлена P(x) относительно xn/2) и решить уравнение
- <math>x^n P(x) = \pm P^{*}(x) </math>
относительно целого n. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и исключая тривиальные множители, можно получить минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, если взять пластическое число, а на месте вышенаписанного плюс-минуса выбрать плюс, то:
- <math>x^n(x^3-x-1) = -x^3-x^2+1 </math>
и при Шаблон:Nums получим
- <math>(x-1)(x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1) = 0, </math>
где многочлен 10-й степени — полином Лемера. Используя бо́льшее значение n, получим семейство многочленов, один из корней которых приближается к пластическому числу. Это можно понять, извлекая радикалы n-й степени обеих сторон уравнения,
- <math>x(x^3-x-1)^{1/n} = \pm (x^3+x^2-1)^{1/n} </math>.
Чем больше будет значение n, тем больше x будет приближаться к решению x3 − x − 1 = 0.Шаблон:Прояснить2 При выборе положительного знака на месте плюс-минуса корень х приближается к пластическому числу в противоположномШаблон:Каком направлении. Используя минимальный полином <math>x^4-x^3-1 </math> следующего наименьшего PV-числа
- <math> x^n (x^4-x^3-1) = -(x^4+x-1), </math>
который для Шаблон:Nums принимает вид
- <math>(x-1)(x^{10} -x^6 -x^5 -x^4 +1) = 0 </math>
при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень Шаблон:Nums, который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x4 − x3 − 1 = 0.
Примечания
Литература
- ↑ Borwein (2002) p.16
- ↑ D. Bailey and D. Broadhurst, A Seventeenth Order Polylogarithm Ladder
