Русская Википедия:Числа Эйлера II рода
Шаблон:Плохой перевод Числа Эйлера II рода (англ. Eulerian numbers of the second kind) — количество перестановок мультимножества <math>\{1, 1, 2, 2, ..., n , n\}</math>, обладающие тем свойством, что для каждого <math> k </math> подсчитываются все числа, встречающиеся между двумя вхождениями <math> k </math> в перестановке, больше, чем <math> k </math> по двойному факториальному числу <math> (\text{2n-1})!! </math>.
Пример
Число Эйлера второго рода, обозначаемое <math>\left\langle{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}\right\rangle</math>, подсчитывает количество всех таких перестановок, которые имеют ровно <math> m </math> восхождений. Например, для <math> n = 3 </math> существует <math> 15 </math> таких перестановок, <math> 1 </math> без подъемов, <math> 8 </math> с одним подъемом и <math> 6 </math> с двумя подъемами:
<math> 332211, </math>
<math> 221133, 221331, 223311, 233211, 113322, 133221,331122, 331221, </math>
<math> 112233, 122133,112332, 123321, 133122, 122331. </math>
Рекуррентное соотношение
Числа Эйлера второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое непосредственно следует из приведенного выше определения:
<math> \left\langle {\left\langle{n\atop m}\right\rangle} \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle {\left\langle{n-1\atop m-1}\right\rangle} \right\rangle + (m+1) \left\langle {\left\langle{n-1\atop m}\right\rangle} \right\rangle </math>,
c начальным условием для <math> n = 0 </math>, выраженным в скобках Иверсона:
<math> \left\langle {\left\langle{0\atop m}\right\rangle} \right\rangle = [m=0] </math>.
Соответственно, полином Эйлера второго рода, обозначаемый здесь <math> P_n </math> (для них не существует стандартных обозначений) <math> P_n(x) = \sum^{n}_{m=0} {\left\langle{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}\right\rangle} x^m </math> и вышеупомянутые рекуррентные отношения переводятся в рекуррентное отношение для последовательности <math> P_n(x) </math>:
<math> P_{n+1} (x) = (2nx+1) P_n(x) -x(x-1) P'_n(x) </math>
С начальным условием
<math> P_0(x)=1 </math>.
Последнее повторение может быть записано в несколько более компактной форме с помощью интегрирующего фактора:
<math> (x-1)^{-2n-2} P_{n+1}(x)=(x(1-x)^{-2n-1} P_n(x)') </math>
так что рациональная функция
- <math> u_n(x):=(x-1)^{-2n} P_n(x) </math>
удовлетворяет простой автономный рецидив:
- <math> u_{n+1} = \left ( \frac{x}{1-x} u_n \right )'</math>, <math> u_0=1 </math>,
откуда можно получить эйлеровы многочлены в виде <math> P_n(x)=(1-x)^{2n} </math> и <math> u_n(x) </math> и числа Эйлера второго рода в качестве их коэффициентов.
Треугольник чисел Эйлера II рода
| n/m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ||||||||
| 2 | 1 | 2 | |||||||
| 3 | 1 | 8 | 6 | ||||||
| 4 | 1 | 22 | 58 | 24 | |||||
| 5 | 1 | 52 | 328 | 444 | 120 | ||||
| 6 | 1 | 114 | 1452 | 4400 | 3708 | 720 | |||
| 7 | 1 | 240 | 5610 | 32120 | 58140 | 33984 | 5040 | ||
| 8 | 1 | 494 | 19950 | 195800 | 644020 | 785304 | 341136 | 40320 | |
| 9 | 1 | 1004 | 67260 | 1062500 | 5765500 | 12440064 | 11026296 | 3733920 | 362880 |
Сумма <math> n </math>–ой строки, которая также является значением <math> P_n(1) </math>, равна <math> (\text{2n-1})!! </math>.
См. также
Ссылки
