Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как <math>StOct_n = O_n + 8T_{n-1}</math>[1], где <math>O_n</math> — <math>n</math>-ное октаэдрическое число, а <math>T_n</math> — <math>n</math>-ное тетраэдрическое число. Поскольку <math>O_n = \frac{1}{3}n(2n^2 + 1)</math>[3], а <math>T_{n-1} = \frac{1}{6}(n-1)n(n+1)</math>[4], получим
<math>StOct_n = \frac{1}{3}n(2n^2 + 1) + \frac{8}{6}(n-1)n(n+1) = \frac{1}{3}(n(2n^2 + 1) + 4(n-1)n(n+1)) = \frac{1}{3}(2n^3 + n + 4n^3 - 4n) = \frac{1}{3}(6n^3 - 3n) = n(2n^2 - 1)</math>.
Рекуррентные формулы <math>O_{n+1} = O_n + (n+1)^2 + n^2</math>[5] и <math>T_{n+1} = T_n + \frac{(n+1)(n+2)}{2}</math>[5] позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: <math>StOct_1 = 1</math>, <math>StOct_{n+1} = StOct_{n} + 6n^2 + 6n +1</math>[5].
Уравнение Люнггрена
Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это <math>StOct_1 = 1</math> и <math>StOct_{169} = 3107^2 = 9653449</math>[5] Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения en (Wilhelm Ljunggren), диофантова уравнения <math>y^2 = 2x^4 - 1</math>[6][7].
