Русская Википедия:Числа трибоначчи

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Чи́сла трибона́ччи — последовательность целых чисел <math>\left\{t_n\right\}</math>, заданная с помощью линейного рекуррентного соотношения:

<math>t_0 = 0,\quad t_1 = 0,\quad t_2 = 1,\quad t_{n+3} = t_{n+2} + t_{n+1}+ t_{n} </math>.

Название является вариацией «чисел Фибоначчи» — с добавкой «три» (Шаблон:Lang-la), обозначающей количество суммируемых чисел.

Последовательность чисел трибоначчи начинается так:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, … (Шаблон:OEIS)

Свойства

• При <math>{n\to\infty}</math> отношение соседних членов <math>\tfrac{t_{n+1}}{t_{n}}</math> стремится к константе трибоначчи <math>C</math> — действительному корню характеристического уравнения <math>x^3-x^2-x-1=0.</math> Это число можно выразить в радикалах: <math>C=\frac{1}{3}\left[1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}\right] = 1{,}839286755\ldots</math>

Десятичные цифры образуют Шаблон:OEIS. Сопряжённые ему числа равны

<math>\begin{alignat}{2} C_{2,~3}&=\frac{1}{6}\left[2-\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}-\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}\pm i\sqrt3\left(\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}-\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}\right)\right] \\

& \approx 0{,}4196\pm0{,}6063i. \\ \end{alignat}</math>

• Любой член ряда трибоначчи можно определить из соотношения, аналогичного формуле Бине для чисел Фибоначчи.<math>t_n = \frac{C^{n+2}}{(C-C_2)(C-C_3)} + \frac{C_2^{n+2}}{(C-C_2)(C_3-C_2)} + \frac{C_3^{n+2}}{(C-C_3)(C-C_3)}.</math>

Причём модули чисел <math>C_{2,~3}</math> меньше единицы, а значит, с возрастанием n последние два слагаемых становятся всё меньше по модулю и приближаются к нулю, так что при натуральных n

<math>t_n = \left\lfloor\frac{3bC^n}{b^2-2b+4} \right\rceil,</math>

где <math>b = \left(586 + 102 \sqrt{33}\right)^{1/3}</math>, а <math>\lfloor \cdot \rceil</math> — округление до ближайшего целого.

См. также

• Обобщение чисел Фибоначчи
• Числа Фибоначчи

Ссылки

• Рекуррентное соотношение Шаблон:Wayback