Русская Википедия:Числовая последовательность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Cauchy sequence illustration2.png

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность чисел.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть <math>X</math> — это либо множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, либо множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>. Тогда последовательность <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math> элементов множества <math>X</math> называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция <math>\left((-1)^n\right)_{n=1}^{\infty}</math> является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид <math>\langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle</math>.
• Функция <math>(1/n)_{n=1}^{\infty}</math> является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид <math>\langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle</math>.

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества <math>X</math> можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве <math>X</math>. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Шаблон:Рамка Пусть на множестве <math>X</math> определена <math>N</math>-арная операция <math>f</math>:

<math>f \colon X^N \rightarrow X</math>

Тогда для элементов <math>x_1=(x_{1n})_{n=1}^\infty</math>, <math>x_2=(x_{2n})_{n=1}^\infty</math>, …, <math>x_N=(x_{Nn})_{n=1}^\infty</math> множества всех последовательностей элементов множества <math>X</math> операция <math>f</math> будет определяться следующим образом:

<math>f \left( x_1, x_2, \cdots, x_N \right) = ( f \left( x_{1n}, x_{2n}, \cdots, x_{Nn} \right) )_{n=1}^\infty</math>

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей <math>(x_n)</math> и <math>(y_n)</math> называется числовая последовательность <math>(z_n)</math> такая, что <math>z_n = x_n + y_n</math>

Разностью числовых последовательностей <math>(x_n)</math> и <math>(y_n)</math> называется числовая последовательность <math>(z_n)</math> такая, что <math>z_n = x_n - y_n </math>.

Произведением числовых последовательностей <math>x_n</math> и <math>y_n</math> называется числовая последовательность <math>(z_n)</math> такая, что <math>z_n = x_n \cdot y_n</math>.

Частным числовой последовательности <math>x_n</math> и числовой последовательности <math>y_n</math>, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность <math>z_n = \left( \frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^\infty</math>. Если в последовательности <math>y_n</math> на позиции <math>k \neq 1 </math> всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность <math>z_n = \left(\frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^{k-1}</math>.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности <math>(x_n)</math> — это последовательность <math>(x_{n_k})</math>, где <math>(n_k)</math> — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности <math>(x_{k_n})</math> верно, что <math>\forall n \in \N \colon k_n \geqslant n</math>.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Шаблон:Main Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Шаблон:Main Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

  <math>(x_n)</math> стационарная <math>\Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \land \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right)</math>.

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества <math>X</math> элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества <math>X</math>, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

  <math>(x_n)</math> ограниченная сверху <math>\Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M</math>.

• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества <math>X</math>, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

  <math>(x_n)</math> ограниченная снизу <math>\Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m</math>.

• Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  <math>(x_n)</math> ограниченная <math>\Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M</math>.

• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

  <math>(x_n)</math> неограниченная <math>\Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n < m \right) \lor \left( x_n > M \right)</math>.

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

<math>(x_n)</math> ограниченная <math>\Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A</math>.

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа <math>\varepsilon</math> все элементы ограниченной числовой последовательности <math>\left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}</math>, начиная с некоторого номера, зависящего от <math>\varepsilon</math>, лежат внутри интервала <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)</math>.
• Если за пределами интервала <math>\left( a, b \right)</math> лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности <math>\left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}</math>, то интервал <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)</math> содержится в интервале <math>\left( a, b \right)</math>.
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если <math>(x_n)</math> — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность <math>(1 / x_n)</math>, которая является бесконечно малой. Если же <math>(x_n)</math> всё же содержит нулевые элементы, то последовательность <math>(1 / x_n)</math> всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера <math>n</math>, и всё равно будет бесконечно малой.
• Если <math>(\alpha_n)</math> — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность <math>(1 / \alpha_n)</math>, которая является бесконечно большой. Если же <math>(\alpha_n)</math> всё же содержит нулевые элементы, то последовательность <math>(1 / \alpha_n)</math> всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера <math>n</math>, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества <math>X</math>, имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность <math>(x_n)</math> сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность <math>(1 / x_n)</math>, которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность <math>(x_n)</math> можно представить в виде <math>(x_n) = (a + \alpha_n)</math>, где <math>a</math> — предел последовательности <math>(x_n)</math>, а <math>\alpha_n</math> — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Шаблон:Main Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Шаблон:Main Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

См. также

• Энциклопедия целочисленных последовательностей