Русская Википедия:Число Белла

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений <math>n</math>-элементного множества, обозначаемое <math>B_n</math>, при этом по определению полагают <math>B_0 = 1</math>.

Значения <math>B_n</math> для <math>n=0,1,2,\dots</math> образуют последовательность:

1, Шаблон:Nums

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить <math>n</math> пронумерованных шаров по <math>n</math> идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из <math>n</math> простых множителейШаблон:Sfn.

Числа Белла названы в честь Эрика Белла, который писал о них в 1930-х годах.

Математические свойства

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

<math>B_n = \sum_{m=0}^n S(n, m),</math>

а также задать в рекуррентной форме:

<math>B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.</math>

Для чисел Белла справедлива также формула ДобинскогоШаблон:Sfn:

<math>B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</math>

Если <math>p</math> — простое, то верно сравнение Тушара:

<math>B_{n+p} \equiv B_n + B_{n+1} \pmod{p}</math>

и более общее:

<math>B_{n+p^m} \equiv mB_n + B_{n+1} \pmod{p}.</math>

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет видШаблон:Sfn

<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math>

Литература

• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite journal.
• Шаблон:Cite journal.