Русская Википедия:Число Брюно

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Число Брюно — иррациональное число <math>\alpha</math>, для которого конечна функция Брюно <math>B(\alpha)</math> — бесконечная сумма:

<math>B(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n}</math>

(<math> q_n </math> — знаменатель <math>n</math>-го члена <math>\frac{p_n}{q_n}</math> непрерывная дроби разложения <math>\alpha</math>).

Функция Брюно <math>B(x)</math> определена для иррационального <math>x</math> и удовлетворяет следующим условиям:

<math> B(x) =B(x+1)</math>

<math> B(x) = - \log x +xB(1/x)</math> для всех иррациональных <math>x</math> от 0 до 1.

Числа открыты и изучены советским математиком Александром Брюно в работе 1971 году, в которой улучшено диофантово условие в Шаблон:Нп5: ростки голоморфных функций с линейной частью <math>e^{2\pi i \alpha}</math> линеаризуемы, если <math>\alpha</math> — число Брюно. В 1987 году Жан-Кристоф Йоккоз показал, что это условие является необходимым, причём для квадратичных многочленов оно не только необходимо, но и достаточно.

У чисел Брюно существует не так много больших «скачков» в последовательностях в которых знаменатель <math>(n + 1)</math>-го сходящегося числа экспоненциально больше, чем знаменатель <math>n</math>-го сходящегося числа. В отличие от чисел Лиувилля они не могут быть необычноШаблон:Уточнить точными диофантовыми приближениями рациональных чисел.

Ссылки

• Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества, 25, 26 (1971, 1972), 119–262, 199–239.