Русская Википедия:Число Капрекара
Число Капрекара для данной системы счисления — это неотрицательное целое число, квадрат которого в этой системе можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число. Например, 45 является числом Капрекара, поскольку 452 = 2025 и 20 + 25 = 45. Числа Капрекара названы по имени Д. Р. Капрекара.
Определение
Пусть X — это неотрицательное целое. X является числом Капрекара по основанию b, если существует неотрицательные числа n, A и положительное B, удовлетворяющие условиям:
- X2 = Abn + B, где 0 < B < bn
- X = A + B
Заметим, что X является также числом Капрекара по основанию bn для данного n. В более узком смысле мы можем определить множество K(N) для данного целого числа N как множество целых чисел X, для которых Шаблон:Sfn
- X2 = AN + B, где 0 < B < N
- X = A + B
Каждое число Капрекара X по основанию b тогда попадает в одно из множеств K(b), K(b2), K(b3),….
Примеры
297 является числом Капрекара по основанию 10, поскольку 2972 = 88209, которое можно разбить на 88 и 209 и 88 + 209 = 297. По соглашению, вторая часть может начинаться с 0, но не должна быть нулевой. Например, 999 является числом Капрекара по основанию 10, поскольку 9992 = 998001, которое можно разбить на 998 и 001, 998 + 001 = 999. А вот 100 числом Капрекара не является, хотя 1002 = 10000 и 100 + 00 = 100, вторая часть равна нулю.
Несколько первых чисел Капрекара по основанию 10:
- 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357, 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, ... (Шаблон:OEIS)
В частности, 9, 99, 999… являются числами Капрекара. Более обще, для любого основания b существует бесконечно много чисел Капрекара, включая все числа вида bn − 1.
Другие основания
По основанию 12 числа Капрекара равны
- 1, E, 56, 66, EE, 444, 778, EEE, 12XX, 1640, 2046, 2929, 3333, 4973, 5E60, 6060, 7249, 8889, 9293, 9E76, X580, X912, EEEE, 22223, 48730, 72392, 99999, EEEEE, 12E649, 16EX51, 1X1X1X, 222222, 22X54X, 26X952, 35186E, 39X39X, 404040, 4197X2, 450770, 5801E8, 5EE600, ...
По основанию 16 числа Капрекара равны
- 1, 6, A, F, 33, 55, 5B, 78, 88, AB, CD, FF, 15F, 334, 38E, 492, 4ED, 7E0, 820, B13, B6E, C72, CCC, EA1, FA5, FFF, 191A, 2A2B, 3C3C, 4444, 5556, 6667, 7F80, 8080, 9999, AAAA, BBBC, C3C4, D5D5, E6E6, FFFF, 1745E, 20EC2, 2ACAB, 2D02E, 30684, 3831F, 3E0F8, 42108, 47AE1, 55555, 62FCA, 689A3, 7278C, 76417, 7A427, 7FE00, 80200, 85BD9, 89AE5, 89BE9, 8D874, 9765D, 9D036, AAAAB, AF0B0, B851F, BDEF8, C1F08, C7CE1, CF97C, D5355,...
Свойства
- В 2000-м году было показаноШаблон:Sfn, что числа Капрекара по основанию b являются биекцией с Шаблон:Не переведено 5 bn – 1 в следующем смысле. Пусть Inv(a,b) означает обратное числа a по модулю b, а именно наименьшее положительное целое число m, такое что am ≡ 1 (mod b). Тогда число X входит в множество K(N) (определённое выше) тогда и только тогда, когда Шаблон:Nowrap для некоторого унитарного делителя d числа N − 1. В частности,
- Для любого X в K(N), N − X содержится в K(N).
- В двоичной системе все чётные совершенные числа являются числами Капрекара.
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Классы натуральных чисел Шаблон:Rq
