Русская Википедия:Число Коксетера
Число Коксетера — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера. В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли <math>\mathfrak g</math>, то говорят о числе Коксетера алгебры <math>\mathfrak g</math>.
Понятие названо в честь Гарольда Коксетера.
Определение
Существует несколько эквивалентных определений этого числа.
- Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n(h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера.
- Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера.
- Если <math>\theta=\sum m_i \alpha_i</math> — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно <math>1+\sum m_i</math>.
- Эквивалентно, если <math>\rho^\vee</math> — такой элемент, что <math>\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1</math>, то <math>h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1</math>.
- Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.
Таблица значений
| Группа Коксетера и символ Шлефли | Граф Коксетера | Диаграмма Дынкина | Число Коксетера <math>h</math> | Двойственное число Коксетера <math>h^\vee</math> | Степени базисных инвариантов | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| An | [3,3...,3] | Шаблон:CDD...Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4, ..., n + 1 |
| Bn | [4,3...,3] | Шаблон:CDD...Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin | 2n | 2n − 1 | 2, 4, 6, ..., 2n |
| Cn | Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin | n + 1 | ||||
| Dn | [3,3,..31,1] | Шаблон:CDD...Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin...Шаблон:Dynkin | 2n − 2 | 2n − 2 | n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2 |
| E6 | [32,2,1] | Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin2 | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
| E7 | [33,2,1] | Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin2 | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
| E8 | [34,2,1] | Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin2 | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
| F4 | [3,4,3] | Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin Шаблон:Dynkin |
12 | 9 | 2, 6, 8, 12 |
| G2 | [6] | Шаблон:CDD | Шаблон:Dynkin Шаблон:Dynkin |
6 | 4 | 2, 6 |
| H3 | [5,3] | Шаблон:CDD | - | 10 | 2, 6, 10 | |
| H4 | [5,3,3] | Шаблон:CDD | - | 30 | 2, 12, 20, 30 | |
| I2(p) | [p] | Шаблон:CDD | - | p | 2, p | |
Вариации и обобщения
Дуальное число Коксетера
В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math>, можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера <math>h^\vee</math>. Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года[1] и часто встречается в теории представлений. Определить это число можно любым из следующих способов.
- Если <math>\rho</math> — это полусумма положительных корней, а <math>\theta</math> — это старший корень, то <math>h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1</math>.
- Если <math>\theta_m=\sum m_i \alpha_i</math> — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то <math>h^\vee=\sum m_i+1</math>.
- Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли <math>\mathfrak{g}</math>: формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2.
- По таблице выше.
Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.
Для Шаблон:Нп5 <math>\widehat{\mathfrak{g}}</math> значение уровня, равное <math>-h^\vee</math>, называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.
Примечания
Ссылки
- Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.
- J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
- Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960
