Русская Википедия:Число Оре
Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:
- Шаблон:Nums, …[1].
Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:
- <math> \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2.</math>
Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:
- <math>
\frac{12}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}
+\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}=5. </math>
5 является целым числом, а значит, 140 является числом Оре.
Числа Оре и совершенные числа
Для любого целого числа <math>M</math> произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу <math>M</math>, что непосредственно следует из определений. Таким образом, <math>M</math> является числом Оре с гармоническим средним делителей <math>k</math> в том и только в том случае, когда среднее арифметическое делителей является частным от деления <math>M</math> на <math>k</math>.
Оре показал, что любое совершенное число является числом Оре. Так как сумма делителей совершенного числа <math>M</math> в точности равна <math>2M</math>, среднее делителей равно <math>M (2/\tau(M))</math>, где <math>\tau(M)</math> означает число делителей числа <math>M</math>. Для любого <math>M</math> число <math>\tau(M)</math> нечётно тогда и только тогда, когда <math>M</math> является полным квадратом, в противном случае каждому делителю <math>d</math> числа <math>M</math> можно сопоставить другой делитель — <math>M/d</math>. Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие существуют) должны иметь множитель вида <math>q^\alpha</math>, где <math>\alpha \equiv 1 \pmod 4</math>. Таким образом, для совершенного числа <math>M</math> число делителей <math>\tau(M)</math> чётно и среднее делителей является произведением <math>M</math> на <math>2/\tau(M)</math>. Таким образом, <math>M</math> является числом Оре.
Оре высказал предположение, что не существует нечётных чисел Оре, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.
Границы и компьютерный поиск
Показано, что любое нечётное число Оре, большее 1, должно иметь степень простого делителя больше 107, а также, что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует нечётных чисел Оре, меньших 1024.
Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых чисел Оре, в результате были найдены все числа Оре до 3.75×1010 и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.
Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Rq
