Русская Википедия:Число Понтрягина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и <math>\omega=\{k_1,k_2,\dots,k_m\}</math> ― разбиение числа <math>n</math>, то есть набор натуральных чисел, таких что <math>k_1+k_2+\cdots+k_m=n</math>.

Рациональное число

<math>P_{\omega}=p_{k_1}\cup p_{k_2}\cup \cdots\cup p_{k_m}([M])</math>

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению <math>\omega</math>, здесь <math>p_i</math> обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

Свойства

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на <math>H^{n/2}(M)</math>, <math>n=dim M</math>.
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (<math>\hat A</math>-род) замкнутого спинорного многообразия <math>M</math>, то есть индекс оператора Дирака на <math>M</math>.