Русская Википедия:Число Прота

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Число Прота — натуральное число вида:

<math>k \cdot 2^n+1 </math>,

где <math>k</math> является нечётным положительным целым числом и <math>n</math> — положительное целое число, причём <math>k < 2^n</math> (без последнего условия числами Прота были бы все нечётные целые числа больше 1).

Названы в честь французского математика Шаблон:Iw (1852—1879).

Первые числа Прота:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, …

Наибольший интерес представляют простые числа Прота, первые таковые:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …

Простота чисел Прота может проверяться с помощью теоремы Прота, которая утверждает, что число Прота <math>p</math> является простым, только если существует целое <math>a</math>, для которого справедливо следующее сравнение:

<math>a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ \pmod{p}</math>.

На ноябрь 2016 года наибольшим известным простым числом Прота является <math>10223 \cdot 2^{31172165} + 1</math>, обнаруженное Петером Сабольчем (Peter Szabolcs) в проекте добровольных вычислений Seventeen or Bust, притом оно же является крупнейшим известным простым числом, не являющееся числом Мерсенна.

Числа Каллена <math>(n \cdot 2^n + 1)</math> и числа Ферма <math>(2^{2^n} + 1)</math> представляют собой частные случаи чисел Прота.

Каждый делитель числа Ферма <math>F_n</math> при <math>n>2</math> может быть представлен в виде <math>k \cdot 2^{n+2} + 1</math> (Эйлер, Люка, 1878). Однако, неравенство <math>k<2^{n+2}</math> здесь может не выполняться.

См. также

• Число Серпинского
• PrimeGrid — проект добровольных вычислений по поиску больших простых Прота