Антона Чупкова начала водить в бассейн мама, чтобы он улучшил своё здоровье. Пройдя начальную подготовку у Натальи Юрьевны Быковой, с 11 лет Антон Чупков[6] тренируется у Немтырёва Александра Сергеевича в Спортивной школе олимпийского резерва по плаванию «Юность Москвы»[7].
Антон является членом молодёжной сборной России по плаванию с 2013 года[8][9][10], со специализацией на дистанциях 100 и 200 м брасс.
В 2013 году Антон Чупков принял участие в Шаблон:Iw, выиграв золотую медаль на дистанции 200 м брассом и серебро на 100 м брассом.
В 2014 году Антон Чупков успешно выступил на Шаблон:Iw, где на личных дистанциях брассом на 50 и 100 м выиграл 2 бронзовые медали, а на 200 м — серебро. Со сборной командой России завоевал золотые медали в мужской комбинированной эстафете 4×100 м и в смешанной комбинированной эстафете 4×100 м, где вместе с Дарьей К. Устиновой, Александром Садовниковым и Дарьей С. Устиновой установил Шаблон:Iw Европейского чемпионата (3:49,05).
В августе 2014 года Антон Чупков принял участие в юношеских Олимпийских играх в Нанкине[11], где выиграл в общей сложности 5 медалей, в том числе две золотые, и установив два юношеских мировых рекорда — на 100 м брассом (1:00,84) и вместе с командой (Евгений Рылов, Александр Садовников, Филипп Шопин) в комбинированной эстафете 4×100 м.
В апреле 2015 года в возрасте 18 лет Антон стал Чемпионом России на дистанции 200 м брассом.
В июне 2015 года Антон Чупков успешно выступил в Баку на первых Европейских играх, выиграв 4 золотые медали и побив два юношеских рекорда мира. Первую золотую медаль завоевал на дистанции 200 метров брассом, показав в финале результат 2:10,85 и опередив занявшего второе место пловца больше чем на 2 секунды[12]. Вместе с Марией Каменевой, Даниилом Пахомовым[13] и Ариной Опёнышевой[14] выиграл золото в смешанной комбинированной эстафете 4×100 м с результатом 3:49,53[15]. Показав результат 1:00,65 секунды, Антон выиграл второе золото на дистанции 100 м брассом[16], обновив свой же юношеский рекорд мира. В составе мужской сборной вместе с Филиппом Шопиным, Даниилом Пахомовым[13] и Владиславом Козловым в комбинированной эстафете 4×100 метров завоевал золотую медаль с результатом 3:36,38 секунды[17].
Коллегиальным решением руководителей ОКР, Минспорта и спортивных федераций, команды которых входили в состав делегации на Первых Европейских играх, Антон Чупков был выбран знаменосцем российской команды на церемонии закрытия игр (28.06.2015). По словам руководителя спортивной делегации РФ на первых Европейских играх «Антон Чупков — один из тех, кто, добившись больших побед на юниорском уровне, в ближайшее время способен выйти на первые роли в национальной сборной. Он уже чемпион страны и вскоре будет выступать на мировом первенстве. Сегодня Антон олицетворяет будущее нашего спорта, новое поколение, которое готово продолжить славные победные традиции России на самом высоком уровне»[18].
В июле 2015 года был приглашён на телеканал «Москва 24», где дал интервью зрителям канала[19].
На первом для него чемпионате мира по водным видам спорта, проходившим летом 2015 года в Казани[20], в полуфинальном заплыве Антон показал восьмой результат 2:09,64, установив очередной юношеский рекорд мира[21], а в финале занял седьмое место с результатом 2:09,96[22].
На первенстве мира по плаванию среди юниоров, прошедшем в конце августа 2015 года в Сингапуре[4], в предварительном заплыве на 100 м брассом Чупков установил новый рекорд мира — 1:00,12, а в финале этого вида программы выиграл золото с результатом 1:00,19[23]. В этот же день пловец вместе с партнёрами по команде Ириной Приходько, Даниилом Пахомовым[13] и Ариной Опёнышевой[14] выиграл золото в смешанной комбинированной эстафете 4×100 м с результатом 3:45,85[24], установив новый юношеский рекорд мира. На четвёртый день этого первенства Антон выиграл золото на дистанции 200 м брассом с рекордом соревнований 2:10,19[25]. В заключительный день первенства мира в финале непрофильной для себя дистанции 50 м брассом Антон показал седьмой результат 28,41, и вместе с Романом Лариным, Даниилом Пахомовым[13] и Владиславом Козловым выиграл золото в мужской комбинированной эстафете 4×100 м с результатом 3:36,44[26], установив новый юношеский рекорд мира[4] и показав на своём этапе результат 59,84. По итогам первенства мира по плаванию среди юниоров 2015 года Антон Чупков стал спортсменом, завоевавшим наибольшее количество золотых медалей — четыре (100 м и 200 м брасс, мужская и смешанная комбинированные эстафеты). Антон также стал лучшим спортсменом соревнований, набрав наибольшее количество очков FINA: за показанный результат на 200 м брассом набрано 928 очков FINA[27].
На прошедшем в октябре 2015 года чемпионате и первенстве г. Москвы в 25 м бассейне Антон Чупков выиграл три первых, два вторых и третье место[28] и показал лучший результат Чемпионата по очкам (849 очков за 2:07,20 на дистанции 200 м брассом)[29].
По результатам прошедшего в ноябре 2015 года в Казани Чемпионата России в 25 м бассейне Антон получил второй результат по очкам (931 очков за результат на дистанции 200 м брассом) и по результатам индивидуальных заплывов, выиграв 2 серебра на дистанции 100 м брассом с новым юношеским рекордом мира 57,61 и на дистанции 200 м брассом с юношеским рекордом России 2:03.57, был квалифицирован для участия в предстоящем в декабре 2015 года Чемпионате Европы. Кроме того, Антон выиграл с партнёрами по Московской команде золото в смешанной комбинированной эстафете 4×50 м и бронзу — в мужской комбинированной эстафете 4×100 м.
На чемпионате Европы по плаванию, прошедшем в декабре 2015 года в Нетании, в предварительном заплыве на дистанции 200 м брассом Антон был дисквалифицирован, что не позволило ему в дальнейшем бороться за медаль на этой дистанции, а на 100 м брассом прошёл в финал, показав там восьмой результат.
На Олимпийских играх в Рио выступал в 2 дисциплинах: 200 м брассом и комбинированной эстафете. На 200-метровке стал бронзовым призёром с результатом 2.07.70. В эстафете в составе российской четверки стал 4-м.
Спустя два года, на чемпионате мира 2019 в Кванджу защитил свой титул, став двукратным чемпионом мира на дистанции 200 м брассом, установив в финале новый мировой рекорд — 2:06,12.
В мае 2021 года на чемпионате Европы, который состоялся в Венгрии в Будапеште, российский спортсмен на дистанции 200 метров брассом завоевал золотую медаль, показав время в финальном заплыве 2:06,99.
В апреле 2023 года объявил о приостановке карьеры[32][33].
