Русская Википедия:Шершавое многообразие
Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.
Примеры
- E8-многообразие
- Возьмём <math>4k</math>-мерное многообразие Милнора <math>W^{4k}</math>, <math>k>1</math>; <math>W^{4k}</math> параллелизуемо, его сигнатура равна <math>8</math>, и его край <math>M=\partial W^{4k}</math> гомотопически эквивалентен сфере <math>S^{4k-1}</math>. Подклейка к <math>W^{4k}</math> конуса <math>C(M)</math> к <math>\partial W^{4k}</math> приводит к пространству <math>P^{4k}</math>. При этом, так как <math>M</math> есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то <math>C(M)</math> кусочно-линейный шар, так что <math>P^{4k}</math> — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, <math>P^{4k}</math> есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) <math>4k</math>-мерного многообразия кратна числу <math>\sigma_k</math>, экспоненциально растущему с ростом <math>k</math>.
- В частности, из этого следует, что многообразие <math>M</math> не диффеоморфно сфере <math>S^{4k-1}</math>.
Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразия
Пусть <math>O_n</math> — ортогональная группа, a <math>PL_n</math> — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов <math>\R^n</math>.
Включение <math>O_n\to PL_n</math> индуцирует расслоение <math>BO_n \to BPL_n</math>, где <math>BG</math> — классифицирующее пространство группы <math>G</math>.
При <math>n\to\infty</math> получается расслоение <math>p : BO_n \to BPL_n</math>, слой которого обозначается через <math>M/O</math>.
Кусочно-линейное многообразие <math>X</math> обладает линейным стабильным нормальным расслоением <math>\nu</math>, классифицируемым отображением <math>\nu : X\to BPL_n</math>.
Если же <math>X</math> является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением <math>\bar\nu</math>, классифицируемым отображением <math>\bar\nu : X \to BO_n</math>, причем <math>p\circ\bar\nu=\nu</math>.
Это условие также и достаточно, то есть
- Замкнутое кусочно-линейное многообразие <math>X</math> сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение <math>\nu : X \to BPL_n</math> «поднимается» в <math>BO_n</math> (то есть существует такое <math>\bar\nu : X \to BO_n</math>, что <math>p\circ\bar\nu=\nu</math>).
См. также
Литература
- Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — Шаблон:М, 1979.
- Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;
