Русская Википедия:Шестнадцатая проблема Гильберта
Шестна́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.
Исходно, проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей» (Шаблон:Lang-de).
Сейчас она считается разделяющейся на две похожие проблемы в разных областях математики:
- Исследование взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогичный вопрос для алгебраических поверхностей).
- Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения).
Исходная постановка
Первая (алгебраическая) часть
Шаблон:Начало цитаты Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая n-го порядка, было определено Гарнаком {Math. Ann., 10 (1876), 189—192}. <...> Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёртой степени в трёхмерном пространстве.[1]. Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты
Вторая (дифференциальная) часть
Шаблон:Начало цитаты В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов <...>, а именно, вопрос о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида
- <math>\frac{dy}{dx} = \frac{Y}{X} ,</math>
где X, Y — целые рациональные функции n-й степени относительно x, y, или, в однородной записи,
- <math>
X\left( y \frac{dz}{dt} - z \frac{dy}{dt}\right) + Y \left(z \frac {dx}{dt} - x \frac{dz}{dt} \right) + Z \left(x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} \right) = 0, </math> где X, Y, Z — целые рациональные однородные функции n-й степени относительно x, y, z, которые и нужно определять как функции параметра t.[1] Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты
История первой части
К моменту доклада Гильберта Ньютоном и Декартом были получены[2] топологические описания кривых степени 3 и 4, а доказанная Гарнаком теорема позволяла оценить число компонент связности кривой: оно не могло превосходить <math>g + 1</math>, где <math>g = (d - 1)(d - 2)/2</math> — её род.
В докладе Гильберт сообщил: Шаблон:Quote
Однако, как было обнаружено[3] в 1970-х годах Д. А. Гудковым, также возможным является случай, когда внутри и вне одной кривой находятся по 5 овалов — случай, который Гильберт считал невозможным. Анализируя свои построения, Гудков высказал гипотезу, утверждавшую для M-кривых чётной степени 2k сравнимость по модулю 8 с числом <math>k^2</math>эйлеровой характеристики множества B точек проективной плоскости, в которых многочлен, задающий кривую, положителен, при условии, что знак этого многочлена выбран так, что B ориентируемо. В частности, это объясняло, что в трёх реализующихся типах М-кривых степени 6 числа овалов внутри, 1, 5 и 9, идут через 4.
При <math>k = 3</math> эта гипотеза была доказана самим Гудковым. В общем случае она была доказана В. И. Арнольдом[4] в ослабленной форме сравнения по модулю 4, а затем В. А. Рохлиным[5][6] в полной общности, при рассмотрении специальным образом построенных четырёхмерных многообразий[3].
Построение различных примеров также привело О. Я. Виро к созданию техники склейки (Шаблон:Lang-en), позволяющей «склеивать из кусочков с заданным поведением» алгебраические кривые.
В 1972-1976 годах Вячеслав Харламов дал решение частного случая, касающегося количества компонент и топологии алгебраических поверхностей четвёртого порядка в трёхмереном проективном пространстве. Шаблон:Заготовка раздела
История второй части
Индивидуальная теорема конечности
Первым шагом на пути к исследованию шестнадцатой проблемы Гильберта в полной общности должна была стать индивидуальная теорема конечности: полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов. Эта теорема была опубликована в 1923 году в работе французского математика Анри Дюлака[7] и долгое время считалась доказанной.
В 1980-х годах Ю. С. Ильяшенко был обнаружен существенный пробел в доказательстве Дюлака[8][9], и вопрос индивидуальной конечности оставался открытым до 1991—92 года, когда Ильяшенко[10] и Экаль[11] одновременно и независимо, используя разные подходы, дали на него положительный ответ (изложение полного доказательства потребовало от каждого из них написания отдельной книги), см. также схему нового доказательства[12].
Стратегия Петровского — Ландиса
Квадратичные векторые поля
Ослабленные версии проблемы
См. также
Примечания
- В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39-45.
- М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.
- Ю. С. Ильяшенко, Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. В сборнике «Глобус: Общематематический семинар. Вып. 1», М.: МЦНМО, 2004. // Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301—354.
- Проблемы Гильберта. Сб. под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.
- ↑ 1,0 1,1 Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Шаблон:Книга Шаблон:Cite web
- ↑ В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39.
- ↑ 3,0 3,1 В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 43.
- ↑ В. И. Арнольд, «О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырёхмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм», Функц. анализ и его прил., 5:3 (1971), 1–9.
- ↑ В. А. Рохлин, «Доказательство гипотезы Гудкова», Функц. анализ и его прил., 6:2 (1972), 62–64.
- ↑ В. А. Рохлин, «Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта», Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 58–64.
- ↑ Dulac, H. Sur les cycles limits. Bull. Soc. Math. France, 51: 45–188 (1923); // русский перевод: Дюлак А. О предельных циклах.— М.: Наука, 1980
- ↑ Ильяшенко Ю. С. О проблеме конечности числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.— УМН, 1982, т. 37, вып. 4, с. 127.
- ↑ Ю. С. Ильяшенко. «Мемуар Дюлака „О предельных циклах“ и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений», УМН, 40:6(246) (1985), 41-78
- ↑ Yu. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
- ↑ J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
- ↑ Ю. С. Ильяшенко. Теоремы конечности для предельных циклов: схема обновленного доказательства. Изв. РАН. Сер. матем., 80:1 (2016), 55–118
