Русская Википедия:Эйлерова характеристика

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства <math>X</math> обычно обозначается <math>\chi(X)</math>.

Определения

• Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

  <math>\chi=k_0-k_1+k_2-...,</math>

где <math>k_i</math> обозначает число клеток размерности <math>i</math>.

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти <math>b_n</math> как знакопеременная сумма:

  <math>\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...</math>

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
• Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю.
• Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:

<math>\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N).</math>

Эйлерова характеристика полиэдров

• Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле <math>\chi = \Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B},</math> где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:

  <math>\Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B} = \chi(S^2) = 2.</math>

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) <math>S</math> без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику <math>\chi(S)</math> с гауссовой кривизной <math>K</math> многообразия:

<math>\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),</math>

где <math>d\sigma</math> — элемент площади поверхности <math>S</math>.

• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
• Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на <math>2\pi</math>.
• Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

<math>\chi = 2 - 2g.\ </math>

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

<math>\chi = 2 - k.\ </math>

Величина эйлеровой характеристики

Название	Вид	Эйлерова характеристика
Отрезок	Файл:Complete graph K2.svg	1
Окружность	Файл:Cirklo.svg	0
Круг	Файл:Disc Plain grey.svg	1
сфера	Файл:Sphere-wireframe.png	2
Тор (произведение двух окружностей)	Файл:Torus illustration.png	0
Двойной тор	Файл:Double torus illustration.png	−2
Тройной тор	Файл:Triple torus illustration.png	−4
Вещественная проективная плоскость	Файл:Steiners Roman.png	1
Лист Мёбиуса	Файл:MobiusStrip-01.png	0
Бутылка Клейна	Файл:KleinBottle-01.png	0
Две сферы (несвязные)	Файл:Sphere-wireframe.pngФайл:Sphere-wireframe.png	2 + 2 = 4
Три сферы	Файл:Sphere-wireframe.pngФайл:Sphere-wireframe.pngФайл:Sphere-wireframe.png	2 + 2 + 2 = 6

История

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

<math>S+H=A+2,</math>

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое <math>(-2g),</math> где <math>g</math> — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: <math>16+16=32+2-2\cdot 1.</math>

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

<math>\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},</math>

где <math>A_i</math> — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

<math>\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.</math>

Вариации и обобщения

• Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна