Русская Википедия:Эйлерово частично упорядоченное множество
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
В комбинаторике эйлерово частично упорядоченное множество — это градуированное частично упорядоченное множество, в котором любой нетривиальный интервал имеет одно и то же число элементов чётного и нечётного рангов. Эйлерово частично упорядоченное множество, являющееся решёткой, называют эйлеровой решёткой. Название дано в честь известного швейцарского, прусского и российского математика Леонарда Эйлера. Эйлеровы решётки обобщают решётки граней выпуклых многогранников и многие современные исследования посвящены расширению известных результатов комбинаторики многогранников, таких как различные ограничения на f-векторы выпуклых симплициальных многогранников, на эти более общие случаи.
Примеры
- Решётка граней выпуклого многогранника, состоящая из его граней, вместе с наименьшим элементом, пустой гранью, и наибольшим элементом, самим многогранником, является эйлеровой решёткой. Условие чётности/нечётности вытекает из формулы Эйлера.
- Любая симплициальная обобщённая гомологическая сфера является эйлеровой решёткой.
- Пусть <math>L</math> — регулярный клеточный комплекс, такой, что <math>|L|</math> является многообразием, эйлерова характеристика которого совпадает с эйлеровой характеристикой сферы той же размерности (это условие пусто, если размерность нечётна). Тогда частично упорядоченное множество клеток комплекса <math>L</math>, порядок на которых задаётся включением их замыканий, является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
- Пусть <math>(W,\le)</math> — группа Коксетера, снабженная порядком Брюа. Тогда <math>(W,\le)</math> является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
Свойства
- Условия из определения эйлерового частичного упорядоченного множества <math>P</math> можно эквивалентно переформулировать в терминах функции Мёбиуса:
- <math> \mu_P(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}</math> для всех <math>x\leq y.</math>
- Пусть <math>P</math> – эйлерово частично упорядоченное множество с наибольшим элементом, тогда двойственное к нему частично упорядоченное множество, полученное обращением частичного порядка на <math>P</math>, тоже является эйлеровым.
- В 1997 году Ричард Стэнли ввёл понятие торического <math>h</math>-вектора для ранжированного частично упорядоченного множества. Это понятие обобщает понятие <math>h</math>-вектора для симплициального многогранника.Шаблон:Sfn Он доказал, что уравнения Дена — Сомервиля
- <math> h_k = h_{d-k} \, </math>
- выполняются для любых эйлеровых частично упорядоченных множеств ранга <math>d+1</math>.Шаблон:Sfn Однако, для эйлеровых частично упорядоченных множеств, строящихся по регулярным клеточным комплексам или выпуклым многогранникам, торический <math>h</math>-вектор и сам не определяет однозначно число клеток или граней различных размерностей, и не определяется с помощью такой информации о клетках или гранях. Торический <math>h</math>-вектор на данный момент не имеет прямой комбинаторной интерпретации.
- Звездное произведение эйлеровых частично упорядоченных множеств снова является эйлеровым частично упорядоченным множеством.
Примечания
Литература
