Пусть в категории <math>C</math> существуют бинарные произведения. Тогда экспоненциал <math>Z^Y</math> можно определить как универсальный морфизм из функтора <math>[-]\times Y</math> в <math>Z</math>. (Функтор <math>[-]\times Y</math> из <math>C</math> в <math>C</math> отображает объект <math>X</math> в <math>X \times Y</math> и морфизмы <math>\varphi</math> в <math>\varphi \times \mathrm{id}_Y</math>).
Более явно, экспоненциал <math>Z^Y</math> объектов <math>Z</math> и <math>Y</math> — это такой объект, вместе с морфизмом <math>eval\colon Z^Y\times Y \to Z</math>, называемым отображением оценки, что для любого объекта <math>X</math> и морфизма <math>g\colon X\times Y \to Z</math> существует единственный морфизм <math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math>, для которого следующая диаграмма коммутативна:
Если экспоненциал <math>Z^Y</math> существует для всех <math>Z</math> в <math>C</math>, то функтор, отправляющий <math>Z</math> в <math>Z^Y</math> является правым сопряжённым к <math>[-]\times Y</math>. В этом случае существует естественная биекция:
В категории множеств экспоненциал <math>Z^Y</math> — это множество всех функций из <math>Y</math> в <math>Z</math> (кардинальная степень). Для любого отображения <math>g\colon (X \times Y) \rightarrow Z</math> отображение <math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math> — это каррированная форма <math>g</math>:
<math>\lambda g(x)(y) = g(x,y)</math>.
В категории топологических пространств экспоненциал <math>Z^Y</math> существует, если <math>Y</math> — локально компактное хаусдорфово пространство. В этом случае <math>Z^Y</math> — это множество непрерывных функций из <math>Y</math> в <math>Z</math> с компактно-открытой топологией. Если <math>Y</math> не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство <math>Z^Y</math> будет существовать, но отображение <math>\lambda</math> может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой.
