Русская Википедия:Экспоненциальная точная последовательность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной алгебраической геометрии.

Определение

Пусть <math>M</math> — комплексное многообразие, <math>\mathcal O_M</math> и <math>\mathcal O^*_M</math> — пучок голоморфных функций и его под пучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций. Комплексная экспонента задаёт отображение

<math>\exp : \mathcal O_M \to \mathcal O_M^*,</math>

которое является гомоморфизмом пучков абелевых групп. Это отображение локально сюръективно и имеет ядро <math>2\pi \mathbb Z</math>, что даёт экспоненциальную точную последовательность

<math>0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0.</math>

Свойства

Эта точная последовательность не сюръективна на глобальных сечениях, например, в проколотом диске, зато она продолжается до длинной точной последовательности когомологий пучков, которая начинается как

<math>0 \to H^0(\mathbb Z) \to H^0(\mathcal O_M) \to H^0(\mathcal O_N^*)\to H^1(\mathbb Z) \to H^1(\mathcal O_M)\to H^1(\mathcal O_M^*) \xrightarrow[]{c_1} H^2(\mathbb Z) \to \cdots</math>

где <math>H^1(\mathcal O_M^*)</math> — группа Пикара, то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений, а <math>c_1</math> — первый класс Черна.