Русская Википедия:Экспоненциальное отображение
Экспоненциальное отображение — обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.
Для риманова многообразия <math>M</math> экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения <math>TM</math> в само многообразие <math>M</math>.
Экспоненциальное отображение обычно обозначается <math>\exp\colon TM\to M</math>, а его сужение на касательное пространство <math>T_pM</math> в точке <math>p\in M</math> обозначается <math>\exp_p\colon T_pM\to M</math> и называется экспоненциальным отображением в точке <math>p</math>.
Определение
Пусть <math>M</math> — риманово многообразие и <math>p \in M</math>. Для каждого вектора <math>v \in T_p M</math> существует единственная геодезическая <math>\gamma_v(t)</math>, выходящая из точки <math>p</math> (то есть <math>\gamma_v(0)=p</math>), такая что <math>\gamma_v'(0)=v</math>.
Экспоненциальное отображение вектора <math>v</math> есть точка <math>\gamma_v(1) \in M</math>, или <math>\exp v=\gamma_v(1)</math>.
Свойства
- <math>\exp_p(0)=p</math>.
- Для каждой точки <math>p \in M</math> существует такое число <math>\varepsilon>0</math>, что экспоненциальное отображение <math>\exp_p</math> определено для всех векторов <math>v \in T_p M</math>, удовлетворяющих условию <math>|v| \le \varepsilon</math>.
- Более того, <math>\exp_p</math> является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве <math>T_p M</math> в некоторую окрестность точки <math>p</math> многообразия <math>M</math>. Таким образом, в некоторой окрестности точки <math>p</math> многообразия <math>M</math> определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое <math>\log_p</math>), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства <math>T_p M</math>.
- В метрически полном римановом многообразии экспоненциальное отображение определено для любого касательного вектора (Теорема Хопфа — Ринова).
- Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке <math>p</math> является тождественным линейным оператором. То есть
- <math>(d_p\exp_p)(v)=v</math>
- для любого <math>v\in T_pM</math>. Здесь мы отождествляем пространство, касательное к <math>T_pM</math>, с ним самим.
- (Лемма Гаусса о геодезических) Для любых <math>x, v\in T_p</math>
- <math>g((d_x\exp_p)(v),(d_x\exp_p)(x))=\langle v, x\rangle,</math>
- где <math>d_x\exp_p\colon T_p=T_xT_p\to T_{\exp_px} </math> обозначает дифференциал экспоненциального отображения.
- Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.
Ссылки
- А. В. Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (ГЛАВА 10)
Литература
- Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
- А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
- М. М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.
