Русская Википедия:Экспоненциальное распределение
Шаблон:Вероятностное распределение
Экспоненциа́льное (или показа́тельное[1]) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Определение
Случайная величина <math>X</math> имеет экспоненциальное распределение с параметром <math>\lambda > 0</math>, если её плотность вероятности имеет вид:
- <math>f_X(x) = \begin{cases}
\lambda \,e^{-\lambda x} ,& x \ge 0, \\ 0 ,& x < 0. \end{cases}</math>.
Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно <math>1/\lambda</math>. Сам параметр <math>\lambda</math> тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.
В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины <math>X</math> задана первым уравнением, и будем писать: <math>X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)</math>.
Функция распределения
Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:
- <math>
F_X(x) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.</math>
Моменты
Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:
- <math>\mathrm{M}_X(t) = \left(1 - {t \over \lambda}\right)^{-1}</math>,
откуда получаем все моменты:
- <math>\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}</math>.
В частности,
- <math>\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}</math>,
- <math>\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{2}{\lambda^2}</math>,
- <math>\operatorname{D} [X] = \frac{1}{\lambda^2}</math>.
Независимость событий
Пусть <math>X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)</math>. Тогда <math>\mathbb{P}(X > s+t \mid X \geqslant s) = \mathbb{P}(X > t)</math>.
Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.
Связь с другими распределениями
- Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа XШаблон:Sfn.
- Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть <math>X_1, \ldots, X_n</math> независимые случайные величины, и <math>X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda_i)</math>. Тогда[2]:
- <math> Y = \min\limits_{i=1,\ldots,n}(X_i) \sim \mathrm{Exp}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).</math>
- Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:
- <math>\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \Gamma( 1,1/ \lambda).</math>
- Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть <math>X_1, \ldots, X_n</math> независимые случайные величины, и <math>X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda)</math>. Тогда:
- <math>Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, 1/\lambda).</math>
- Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть <math>U \sim U[0,1]</math>. Тогда:
- <math>X = - \frac{1}{\lambda} \ln U \sim \mathrm{Exp}(\lambda).</math>
- Экспоненциальное распределение с параметром <math>\lambda=1/2</math> — это частный случай распределения хи-квадрат:
- <math>\mathrm{Exp}(1/2) \equiv \chi^2(2).</math>
- Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
- Пусть <math>X_1, \ldots, X_n</math> независимые случайные величины, и <math>X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda)</math>и <math>Y=\max{X_1,...,X_n}, Z=X_1+\frac{X_2}{2}+...+\frac{X_n}{n}</math>. Тогда:
- <math>P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^n, P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^n.</math>
Примечания
Литература
Шаблон:Rq
Шаблон:Список вероятностных распределений
