Русская Википедия:Экстраполятор первого порядка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модель

Файл:Sampled.signal.svg

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Пусть x_s(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал <math>x_s(t)</math> <math>= x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \ </math> |<math>= T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \ </math>

Файл:Firstorderhold.signal.svg

Кусочно-линейный сигнал x_FOH(t).

в кусочно-линейный сигнал

<math>x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} \right) \ </math>

Файл:Firstorderhold.impulseresponse.svg

Импульсная передаточная функция экстраполятора первого порядка h_FOH(t).

и имеющий импульсную передаточную функцию

<math>h_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} \right)

= \begin{cases}

\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t|}{T} \right) & \mbox{if } |t| < T \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} \ </math>

где <math>\mathrm{tri}(x) \ </math> — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

<math>H_{\mathrm{FOH}}(f)</math> <math>= \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math> <math>= \left( \frac{e^{i \pi fT} - e^{-i \pi fT}}{i 2 \pi fT} \right)^2 \ </math> <math>= \mathrm{sinc}^2(fT) \ </math>

где <math>\mathrm{sinc}(x) \ </math> — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

<math>H_{\mathrm{FOH}}(s)</math> <math>= \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math> <math>= \left( \frac{e^{sT/2} - e^{-sT/2}}{sT} \right)^2 \ </math>

См. также

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор нулевого порядка