Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности.
Обычно обозначается <math>e</math> или <math>\varepsilon</math>.
Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку <math>F</math> и прямую <math>d</math> и зададим вещественное число <math>e>0</math>; тогда геометрическое место точек <math>P</math>, для которых отношение расстояний до точки <math>F</math> и до прямой <math>d</math> равно <math>e</math>, является коническим сечением; то есть, если <math>P'</math> есть проекция <math>P</math> на <math>L</math>, то
<math>FP = e \cdot PP'</math>.
Это число <math>e</math> называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.
Связанные определения
Точка <math>F</math> называется фокусом конического сечения.
Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:
<math>r=\frac{\ell}{1-e\cos\varphi}</math>,
где <math>e</math> — эксцентриситет, а <math>\ell</math> — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).
Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше.
В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется
его геометрический смысл.
Свойства
В зависимости от эксцентриситета, получится:
при <math>e>1</math> — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра[2].
Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой (<math>b</math>) и большой (<math>a</math>) полуосей:
<math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.
Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (<math>b</math>) и действительной (<math>a</math>) полуосей: