Русская Википедия:Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Spherical triangle illustration.svg

Сферический треугольник

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

<math>\varepsilon = A + B + C - \pi</math>

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числаШаблон:Rp.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула ЛюильеШаблон:Rp:

<math>\operatorname{tg}\frac{\varepsilon}{4} = \sqrt{\operatorname{tg}\frac{p}{2} \operatorname{tg}\frac{p-a}{2}\operatorname{tg}\frac{p-b}{2}\operatorname{tg}\frac{p-c}{2}}, p=\frac{a+b+c}{2}</math>

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формулаШаблон:Rp:

<math>\operatorname{ctg}\frac{\varepsilon}{2} = \frac{\operatorname{ctg}\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{b}{2} + \cos C}{\sin C}</math>

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку <math>S=R^2 \varepsilon</math> (здесь <math>R</math> — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах)Шаблон:Rp.
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы <math>\theta_a, \theta_b, \theta_c</math> при вершине, как:

<math>\Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>, где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.

Через двугранные углы <math>\alpha, \beta, \gamma</math> телесный угол выражается, как:

<math>\Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi</math>

Ссылки

• Шаблон:Из БСЭ
• Сферический избыток на сайте MathWorld