Русская Википедия:Электрический импеданс
Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Электродинамика Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние[1][2]) (Шаблон:Lang-en от Шаблон:Lang-la «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.
Понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году[3][4].
Аналогия с электрическим сопротивлением проводника на примере резистора
Резистор — пассивный элемент, обладающий исключительно активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения, а также из-за того, что резистор является пассивным элементом (поскольку не содержит внутренних источников энергии). Если к его концам приложить некоторое напряжение <math>U</math> (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток <math>I.</math> Если через резистор пропустить электрический ток <math>I</math> (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения <math>U.</math> Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения <math>U,</math> к току <math>I</math> (см. закон Ома для участка цепи):
- <math>R = \frac{ U }{ I }.</math>
Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:
- сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:
- если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:
- <math>U = 0;</math>
- <math>R = \frac{ U }{ I } = \frac{ 0 }{ I } = 0;</math>
- сопротивление идеального конденсатора стремится к бесконечности:
- если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение <math>U,</math> то при любом значении <math>U,</math> ток через конденсатор будет нулевым:
- <math>I = 0;</math>
- <math>R = \frac{ U }{ I } = \frac{ U }{ 0 } = \infty.</math>
Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:
- напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
- ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.
Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.
Было бы удобно иметь некоторый параметр, аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.
Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитываются и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.
Определение
Импедансом <math>\hat z(j \omega)\;</math> называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, то есть после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время <math>t</math> в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.
Шаблон:EF{I(\omega) e^{j(\omega t + \phi_i(\omega))}} =
\frac {U(\omega) e^{j\phi_u(\omega)}}{I(\omega) e^{j\phi_i(\omega)}} =
\frac{\hat U(j\omega)\;}{\hat I(j\omega)\;},
</math>
|ref=1
}}где <math>j</math> — мнимая единица[5];
- <math>\omega</math> — циклическая (круговая) частота;
- <math>U(\omega),~I(\omega)</math> — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте <math>\omega;</math>
- <math>\phi_u(\omega),~\phi_i(\omega)</math> — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте <math>\omega;</math>
- <math>\hat U(j\omega),~\hat I(j\omega)\;</math> — комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте <math>\omega.</math>
Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как <math>f (j\omega),</math> а не <math>f (\omega).</math> Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида <math>e^{j \omega t}.</math> Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: <math>\dot{U}(j\omega)\;</math> чтобы отличать от соответствующих действительных величин.
Физический смысл
Алгебраическая форма
Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом <math>\hat z(j \omega)\;</math> можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением <math>\Re(\hat z(j \omega))</math> и чисто реактивный элемент с импедансом <math>\Im(\hat z(j \omega)).</math>
Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.
Тригонометрическая форма
Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.
Ограничения
Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени <math>t,</math> поскольку при вычислении импеданса множитель <math>e^{j \omega t}</math> в (1) не сокращается.
- Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).
Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении — для бесконечно малой амплитуды сигнала для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.
Обобщенный импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа
Импедансы, определённые через комплексную частоту <math>j\omega,</math> позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщенный импеданс — функции комплексной переменной <math>s = \sigma+j\omega</math> и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причем в таких вычислениях возбуждающий сигнал <math>f_{in}(t)</math> из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление <math>F_t(s)</math> через прямое преобразование Лапласа:
- <math>F_t(s) = \int_{0}^\infty f_{in}(t) e^{-st}\,dt.</math>
Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы <math>H(s):</math>
- <math>F_{t,H}(s) = H(s)\ F_t(s).</math>
| Двухполюсник | Обобщённый импеданс |
|---|---|
| Резистор | <math>R \,</math> |
| Катушка индуктивности |
<math>sL \,</math> |
| Конденсатор | <math>\frac{1}{sC} \,</math> |
Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет <math>R + sL.</math>
Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:
- <math>f_{F,H}(t) = \mathcal{L}^{-1}[H(s)\ F_t(s)] = \frac{1}{2\pi j}\int\limits_{\sigma_1-j\cdot\infty}^{\sigma_1+j\cdot\infty} e^{st}H(s)\ F_t(s)\,ds,</math>
- где <math>\sigma_1\ </math> — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.
- Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение
Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала где выходной сигнал снимается с конденсатора, обобщённый комплексный коэффициент передачи <math>H_{RC}(s)</math> такого делителя:
- <math>H_{RC}(s) = \frac {1/sC}{R + 1/sC} = \frac{1}{sRC + 1} = \frac{1}{sT + 1},</math>
- где обозначено <math>T = RC</math> — постоянная времени RС-цепи.
Ступенчатый входной сигнал можно выразить через функцию Хевисайда <math>h(t):</math>
- <math>U_{in}(t) = U_0\ h(t),</math>
- где <math>U_0</math> — амплитуда ступеньки.
Преобразование Лапласа входного сигнала:
<math>F_{in}(s) = \mathcal{L}[U_0\ h(t)] = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st}\, U_0\, h(t) \,dt = U_0/s.</math>
- <math>U_{out}(t) = \mathcal{L}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)] = \frac{1}{2\pi j}\int\limits_{\sigma_1-j\cdot\infty}^{\sigma_1 + j\cdot\infty} e^{st}\frac{1}{sT + 1}\cdot \frac {U_0}{s}\,ds = U_0(1 - e^{-t/T}).</math>
Таким образом, получен отклик цепи при нулевом начальном условии (<math>U_C = 0</math> при <math>t = 0</math>), такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.
Для практического применения расчета цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся при расчётах функций.
Комбинируя преобразование Лапласа с использованием его свойств и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.
Вычисление импеданса
Идеальные элементы
Резистор
Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению <math>R</math> и не зависит от частоты:
Конденсатор
Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:
Отсюда следует, что при напряжении
ток, текущий через конденсатор, будет равен:
После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:
Катушка индуктивности
Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:
Общий случай
Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:
Экспериментальное измерение импеданса
Прямое измерение импеданса требует измерения амплитуд синусоидальных напряжения и тока изучаемого двухполюсника, и одновременного измерения сдвига фазы между ними.
Импеданс также часто измеряют компенсационными методами с помощью мостов переменного тока, подобными мосту Уитстона для постоянного тока, при таких измерениях мост балансируют изменением эталонных реактивного и активного элементов, по величине реактивного и активного сопротивления эталонных элементов, требуемого для балансировки моста, определяется измеряемый импеданс.
В силовых устройствах измерение импеданса может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.
Измерение импеданса устройств и линий передач является практической задачей в радиотехнике и других областях.
Измерения импеданса обычно проводятся на одной частоте, но если требуется определить зависимость импеданса от частоты, то измерения проводят на нескольких частотах в нужном диапазоне частот.
Активная и реактивная составляющие импеданса обычно выражают в омах. Однако, для характеризации антенн, линиях передачи, СВЧ электронных устройств обычно более удобно использовать связанные с ним S-параметры, коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения.
Сопротивление устройства можно рассчитать путем деления комплексных напряжения и тока. Полное сопротивление устройства рассчитывается путем подачи синусоидального напряжения на устройство последовательно с эталонным резистором и измерения напряжений на резисторе и на самом устройстве. Выполнение этого измерения на нескольких частотах тестирующего сигнала обеспечивает определение фазового сдвига и величины импеданса[6].
Измерение отклика исследуемой цепи на импульсный тестирующий сигнал можно использовать в сочетании с быстрым преобразованием Фурье для измерения импеданса различных электрических устройств[6].
LCR-измеритель (индуктивность L, емкость C и сопротивление R) или измеритель иммитанса — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и ёмкости компонента. Из этих значений можно рассчитать полное сопротивление на любой частоте.
Применение понятия импеданса
Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого применяется преобразование Лапласа, либо сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье (или преобразования Фурье) и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал .
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Science, p. 18, 1888
- ↑ Oliver Heaviside. The Electrician. P. 212; 23 July 1886 reprinted as Electrical Papers, p64, AMS Bookstore, ISBN 0-8218-3465-7
- ↑ В электротехнике и электронике мнимую единицу принято обозначать символом <math>j,</math> во избежание путаницы с символом <math>i,</math> традиционно применяемым для обозначения силы тока.
- ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Статья
