Русская Википедия:Электрический поток
Электри́ческий пото́к ― поток вектора напряжённости электрического поля (<math>\mathbf{E} </math>) или электрической индукции (<math>\mathbf{D} </math>) через некоторую поверхность <math>S</math>. Вычисляется как интеграл по этой поверхности:
- <math>\Phi = \int_S\vec{E}\cdot d\vec{S}\quad</math> или <math>\quad\Psi = \int_S\vec{D}\cdot d\vec{S}</math>.
На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (В<math>\cdot</math>м, для <math>\Phi</math>) или кулон (Кл, для <math>\Psi</math>). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: <math>\Phi_E</math>, <math>\Psi_D</math>.
Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток (<math>\Psi_D</math>), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме).
Общий случай
В общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например <math>d\Phi_E</math>), то есть скалярное произведение вектора <math>\vec{E}</math> в данной точке на малый векторный элемент площадки:
- <math>d\Phi_E = \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}</math>.
Элемент <math>d\mathbf{S}</math> записывается как произведение площади <math>dS</math> данной площадки на единичный вектор нормали к ней <math>d\mathbf{S} = dS\,\mathbf{n}</math>, так что выражение для элементарного потока приобретает вид
- <math>\mathit{d}\Phi_E = \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\,dS = E\,dS\,\cos\theta</math>,
где через <math>\theta</math> обозначен угол между векторами <math>\vec{E}</math> и <math>\vec{n}</math>. Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади:
- <math>\Phi_E = \int_S\mathit{d}\Phi_E</math>.
При вычислении <math>d\Psi_D</math> выполняются аналогичные действия, только с вектором <math>\vec{D}</math>. В общем случае не существует простой связи ни между <math>d\Psi_D</math> и <math>d\Phi_E</math>, ни между <math>\Psi_D</math> и <math>\Phi_E</math>.
Случай однородного поля
Если электрическое поле однородно вблизи поверхности <math>S</math>, оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле
- <math>\Phi_E = E \cdot \int_S\cos\theta\,dS</math>,
а если ещё поверхность плоская, то по формуле
- <math>\Phi_E = E \, S\,\cos\theta</math>.
Если однородно поле <math>\vec{D}</math>, подобное упрощение возможно для <math>\Psi_D</math>. При этом однородность <math>\vec{E}</math> не всегда означает однородность <math>\vec{D}</math> и наоборот.
Случай слабых полей
В ситуации со слабымиШаблон:Ref электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии, векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой:
- <math>\mathbf{D} = \varepsilon_0\varepsilon\,\mathbf{E} </math>,
где <math>\varepsilon_0 </math> ― диэлектрическая постоянная, а <math>\varepsilon</math> — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат.
В таком случае для элементарных потоков <math>d\Psi_D</math> и <math>d\Phi_E</math> имеется простое соотношение:
- <math> d\Psi_D = \varepsilon_0\varepsilon\,d\Phi_E</math>.
Если, кроме того, диэлектрик однороден (<math>\varepsilon =\,</math>const), то полные потоки оказываются также связаны константой:
- <math> \Psi_D = \varepsilon_0\varepsilon\,\Phi_E</math>.
Для вакуума (<math>\varepsilon = 1</math>) выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях.
Теорема Гаусса и поток
Согласно теореме Гаусса, электрический поток через замкнутую поверхность <math>S</math> равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов. Выражение теоремы может быть записано для потока как <math>\vec{E}</math>, так и <math>\vec{D}</math>:
- <math>\Phi_\mathbf{E} = \oint_S\mathbf{E}\,\mathrm{d}\mathbf{S}=\varepsilon_0^{-1}Q_{tot}</math>,
- <math>\Psi_\mathbf{D} = \oint_S\mathbf{D}\,\mathrm{d}\mathbf{S}=Q</math>,
но смысл понятия «все заряды» различен. В случае <math>\vec{E}</math> имеются в виду вообще все заряды (<math>Q_{tot}</math>) — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика), а в случае <math>\vec{D}</math> — только свободные (<math>Q</math>).
Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла, в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного):
- <math>\oint_S\mathbf{D}\,\mathrm{d}\mathbf{S}= \int_V\rho\,dV</math>,
где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности <math>S</math>.
См. также
Литература
- Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Изд.3-е., М: Высшая школа, 1968.-412с.
Примечания
Шаблон:Note 1. Поля считаются слабыми, если смещение связанных зарядов, а следовательно, вызванная ими поляризация, линейно зависят от данного поля. Шаблон:Physics-stub
