Русская Википедия:Электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости <math>E</math> и индукции <math>B</math> электромагнитного поля.
Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.
Существует близкий термин — электрические колебания. Периодические ограниченные изменения величин заряда <math>q</math>, тока <math>I</math> или напряжения <math>U</math> называют электрическими колебаниями[1]. Синусоидальный переменный электрический ток является одним из видов вынужденных электрических колебаний.
Вывод формулы
Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:
- <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad(1)</math>
- <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}, \qquad(2)</math>
- <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \qquad(3)</math>
- <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}, \qquad(4)</math>
где
- <math>\nabla</math> — векторный дифференциальный оператор набла.
Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение
- <math>\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}.</math>
Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:
- <math>\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{A} \right) - \nabla^2 \mathbf{A}.</math>
Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):
- <math>\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right). \quad(5)</math>
Левая часть (5) эквивалентна:
- <math> \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{E} \right) - \nabla^2 \mathbf{E} = - \nabla^2 \mathbf{E}, \qquad(6)</math>
где мы упрощаем, используя уравнение (1).
Правая часть эквивалентна:
- <math>\nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E}. \qquad(7)</math>
Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно
<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E},</math>
Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:
<math>\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{B}.</math>
Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:
- <math>\nabla^2 f = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2},</math>
где <math>c_0</math> — скорость волны в вакууме, <math>f</math> — описывает смещение.
Или
- <math>\Box f = 0,</math>
где <math>\Box</math> — оператор Д’Аламбера:
- <math>\Box = \nabla^2 - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}. </math>
Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость[2].:
- <math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}},</math>
которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума <math>\varepsilon_0</math>, магнитную проницаемость вакуума <math>\mu_0</math> и непосредственно скорость света <math>c_0</math>. До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.
Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.
- <math>\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right).</math>
Здесь <math>\mathbf{E}_0</math> — постоянная амплитуда колебаний, <math>f</math> — любая мгновенная дифференцируемая функция, <math> \hat{\mathbf{k}}</math> — единичный вектор в направлении распространения, а <math> {\mathbf{x}} </math> - радиус-вектор. Мы замечаем, что <math>f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right)</math> — общее решение волнового уравнения. Другими словами
- <math>\nabla^2 f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial^2 t} f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right),</math>
для типичной волны, распространяющейся в <math>\hat{\mathbf{k}}</math> направлении.
Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?
- <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) = 0,</math>
- <math>\mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{k}} = 0.</math>
Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.
- <math>\nabla \times \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},</math>
- <math>\mathbf{B} = \frac{1}{c_0} \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}.</math>
Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math>.
Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, <math>E_0 = c_0 B_0</math>, которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор <math>\mathbf{E} \times \mathbf{B}</math>.
С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Калашников С. Г., Электричество, М., ГИТТЛ, 1956, Гл. XXIII «Свободные электромагнитные волны», п. 265 «Свойства электромагнитных волн», с. 599;
