Русская Википедия:Электромагнитный потенциал
Шаблон:Значения Шаблон:Электродинамика В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).
- Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего <math>A_i</math> или <math>\varphi_i</math>, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты <math>A_0,A_1,A_2,A_3</math> или <math>\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3</math>, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
- В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.
В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал <math>(A_0,\ A_1,\ A_2,\ A_3)</math> распадается[1] на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал <math>\varphi \equiv A_0</math> и трехмерный векторный потенциал <math>\vec A \equiv (A_x,A_y,A_z) \equiv (-A_1,-A_2,-A_3)</math>; эти потенциалы <math>\varphi\ </math> и <math>\vec A</math> и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через <math>\varphi</math>, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция)[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).
Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях[3]:
- <math>\vec E = -\nabla \varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t},</math>
- <math>\vec B = \nabla \times \vec A,</math>
где <math>\vec E</math> — напряжённость электрического поля, <math>\vec B</math> — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), <math>\nabla</math> — оператор набла, причём <math>\nabla\varphi \equiv \mathrm{grad}\, \varphi</math> — градиент скалярного потенциала, а <math>\nabla\times\vec A \equiv \mathrm{rot}\, \vec A</math> — ротор векторного потенциала.
В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:
- <math>F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu},</math>
где <math>F_{\mu \nu}</math> — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты <math>E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z</math>.
Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.
При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты <math>A_0,A_1,A_2,A_3</math> преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.
Физический смысл
Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы [4] (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу <math>\varphi</math> волновой функции частицы:
- <math>\Delta \varphi = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i dx^i = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i u^i d\tau</math>,
или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя <math>1/\hbar</math>, а в системе единиц, где <math>\hbar= 1</math> — просто совпадает с ней). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова-Бома).
Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.
См. также
Примечания
- ↑ В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в сигнатуре лоренцевой метрики (+−−−), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление <math>A^i \equiv (A^0,\ A^1,\ A^2, A^3) = (\varphi,\ A_x,\ A_y,\ A_z)</math> отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде: <math>(i\ \varphi,\ A_x,\ A_y,\ A_z)</math>.
- ↑ В статье статье рассматривается лишь поля в вакууме, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в СИ, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).
- ↑ В зависимости от используемой системы физических единиц в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырёхмерный электромагнитный потенциал с трёхмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где скорость света равна единице, и все скорости безразмерны.
- ↑ Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.
