Русская Википедия:Элементарные преобразования матрицы
Шаблон:Ук Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Определение
Элементарными преобразованиями строк называют:
- перестановку местами любых двух строк матрицы;
- умножение любой строки матрицы на константу <math>k</math>, <math>k \neq 0</math>, при этом определитель матрицы увеличивается в k раз;
- прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на некоторую константу.
В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу <math>k</math>, <math>k \neq 0</math> и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу <math>k</math>, <math>k \neq 0</math>.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Элементарные преобразования обратимы.
Обозначение <math>A\sim B</math> указывает на то, что матрица <math>A</math> может быть получена из <math>B</math> путём элементарных преобразований (или наоборот).
Свойства
Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях
- Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:
- перестановку уравнений;
- умножение уравнения на ненулевую константу;
- сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
- То есть элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:
- Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Нахождение обратных матриц
Приведение матриц к ступенчатому виду
Просмотреть статью: Ступенчатый вид по строкам
- Введём понятие ступенчатых матриц:
- Матрица <math>A</math> имеет ступенчатый вид, если:
- Все нулевые строки матрицы <math>A</math> стоят последними;
- Для любой ненулевой строки матрицы <math>A</math> (пусть для определённости её номер равен <math>k</math>) справедливо следующее: если <math>a_{kj}</math> — первый ненулевой элемент строки <math>k</math>, то <math>\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0</math>.
- Все нулевые строки матрицы <math>A</math> стоят последними;
- Тогда справедливо следующее утверждение:
Связанные определения
Элементарная матрица. Матрица А является элементарной, если умножение на неё произвольной матрицы В приводит к элементарным преобразованиям строк в матрице В.
Литература
Примечания
