Русская Википедия:Элементарный топос
Шаблон:Также Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.
Определение
Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект <math>\Omega</math>, называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта <math>T\colon 1 \to \Omega</math>, называемый истиной (также обозначается <math>true</math>), такой что для любого мономорфизма <math>m\colon A \to B</math> существует единственный морфизм <math>\chi_m\colon B \to \Omega</math>, для которого диаграмма
является декартовым квадратом.
Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал <math>a^b</math> любых двух объектов <math>a</math> и <math>b</math> и классификатор подобъектов <math>\Omega</math>.
Свойства
- Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.
Примеры
- Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств <math>A</math> и <math>B</math> — это множество <math>A^B</math> отображений из <math>B</math> в <math>A</math>. Классификатор подобъектов — это множество <math>\Omega = \{0;1\}</math>, при этом <math>m</math> — естественное вложение <math>A</math> в <math>B</math>, а <math>\chi_m</math> — характеристическая функция подмножества <math>A</math> множества <math>B</math>, равная 1 на элементах <math>A</math> и 0 на элементах <math>A \backslash B</math>. Подобъекты <math>A</math> — это его подмножества.
- Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
- Для любой категории <math>C</math> категория функторов <math>\left[ C, \mathbf{Set} \right]</math> является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов <math>F,G</math> функтор морфизмов <math>[F,G]</math> даётся формулой
- <math>[F,G](c)=\mathrm{Hom}(F(c),G(c))</math>
- Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов <math>\Omega</math> на объекте <math>c\in C</math> равен множеству подфункторов представимого функтора <math>\mathrm{Hom}(c,\cdot)</math>.
- Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству <math>X</math> его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, <math>Ouv(X)</math>, то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе <math>[Ouv(X),\mathbf{Set}]</math>. Единственное отличие: <math>\Omega(c)</math> есть множество всех подпучков представимого пучка <math>\mathrm{Hom}_{Ouv(X)}(c,\cdot)</math>.
- Более общо, для любой категории <math>C</math> с заданной топологией Гротендика <math>\tau</math> категория <math>\tau</math>-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
- Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.
Литература
