Русская Википедия:Эллипсоид Джона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Эллипсоид Джона — один из двух эллипсоидов связанных с выпуклым телом K в n-мерном евклидовом пространстве. Может относиться к n-мерному эллипсоиду максимального объема, содержащемуся внутри K (так называемый внутренний эллипсоид Джона), или эллипсоиду минимального объема, содержащий K (так называемый внешний эллипсид Джона).

Назван в честь немецко-американского математика Фрица Джона, который в 1948 году доказал, что каждое выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве содержит единственный описанный эллипсоид минимального объема и что этот эллипсоид уменьшенный в n раз содержится внутри выпуклого тела.

Свойства

Внутренний эллипсоид Джона E(K) выпуклого тела K ⊂ R ⁿ является замкнутым единичным шаром B в Rⁿ тогда и только тогда, когда B ⊆ K и существует целое число m ≥ n и, для i = 1, ..., m, действительных чисел c _i> 0 и единичных векторов u _i ∈ S ⁿ⁻¹ ∩ ∂K такой, что

<math>\sum_{i = 1}^{m} c_{i} u_{i} = 0</math>

и, для всех x ∈ R ⁿ

<math>x = \sum_{i = 1}^{m} c_{i} (x \cdot u_{i}) u_{i}.</math>

Приложения

Вычисление эллипсоидов Джона находит применение в обнаружении столкновений с препятствиями для роботизированных систем, где расстояние между роботом и окружающей его средой оценивается с использованием наилучшего соответствия эллипсоида.

Он также имеет приложения для оптимизации портфеля с учетом транзакционных издержек.