Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.
Определение
Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию <math>f</math>, определённую на области <math>\mathbb{C}</math>, для которой существуют два ненулевых комплексных числа <math>a</math> и <math>b</math>, таких что
- <math>f(z + a) = f(z + b) = f(z),\quad \forall z \in C,</math>
а также частное <math>\frac{a}{b}</math> не является действительным числом.
Из этого следует, что для любых целых <math>m</math> и <math>n</math>
- <math>f(z + ma + nb) = f(z),\quad \forall z \in C</math>.
Любое комплексное число <math>\omega</math>, такое что
- <math>f(z + \omega) = f(z),\quad \forall z \in C,</math>
называют периодом функции <math>f</math>. Если периоды <math>a</math> и <math>b</math> таковы, что любое <math>\omega</math> может быть записано как
- <math>\omega = ma + nb,</math>
то <math>a</math> и <math>b</math> называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.
Параллелограмм <math>\Pi</math> с вершинами в <math>0</math>, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>a + b</math> называется фундаментальным параллелограммом.
Свойства
- Не существует отличных от констант целых эллиптических функций (первая теорема Лиувилля).
- Если эллиптическая функция <math>f(z)</math> не имеет полюсов на границе параллелограмма <math>\alpha + \Pi</math>, то сумма вычетов <math>f(z)</math> во всех полюсах, лежащих внутри <math>\alpha + \Pi</math>, равна нулю (вторая теорема Лиувилля).
- Любая эллиптическая функция с периодами <math>a</math> и <math>b</math> может быть представлена в виде
- <math>f(z) = h\big(\wp(z)\big) + g\big(\wp(z)\big) \wp'(z),</math>
- где h, g — рациональные функции, <math>\wp(z)</math> — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у <math>f(z)</math>. Если при этом <math>f(z)</math> является чётной функцией, то её можно представить в виде <math>f(z) = h\big(\wp(z)\big)</math>, где h рациональна.
- Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.
См. также
Литература
- Эллиптические функции // Кнэпп Э. Эллиптические кривые. — М.: Факториал Пресс, 2004.
- Глава 11 // Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960.
Шаблон:Math-stub
Шаблон:Rq
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|