Русская Википедия:Эллиптические функции Вейерштрасса
Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют <math>\wp</math>-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ <math>\wp</math> (стилизованное P).
Определение
Пусть задана эллиптическая кривая <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math>, где <math>\Gamma</math> — решётка в <math>\mathbb{C}</math>. Тогда <math>\wp</math>-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда
- <math>
\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right). </math>
Можно увидеть, что так определённая функция будет <math>\Gamma</math>-периодичной на <math>\mathbb{C}</math>, и потому является мероморфной функцией на <math>E</math>.
Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда <math>\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2}</math> — «наивной» попытки задать <math>\Gamma</math>-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на <math>\Gamma</math> имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как<math>\frac{1}{|w|^2}</math>, а сумма <math>\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2}</math> по двумерной решётке <math>\Gamma</math> расходится.
Варианты определения
Задавая решётку <math>\Gamma</math> её базисом, <math>\Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \mathbb{Z}\}</math>, можно записать
- <math>
\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right). </math>
Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, <math>\wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}\wp(z;\omega_1,\omega_2)</math>, обозначив <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math>, имеет место равенство
- <math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).</math>
Поэтому рассматривают
- <math>
\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right). </math>
Свойства
- Функция Вейерштрасса <math>\wp_E:E\mapsto \widehat{\mathbb{C}}</math> — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
- Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения <math>e_1, e_2, e_3</math>. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом <math>z\mapsto -z</math> кривой E — точки 0 и трёх полупериодов <math>\omega_1/2,\omega_2/2, (\omega_1+\omega_2)/2</math>. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой <math>E/(z\mapsto -z)</math> (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.
- Воспользовавшись разложением <math>\frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j</math> и просуммировав по <math>w\in \Gamma\setminus \{0\}</math>, можно получить разложение в точке <math>z=0</math> функции Вейерштрасса в ряд Лорана:
<math> \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2}, </math> где <math>G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k}</math> — ряды Эйзенштейна для решётки <math>\Gamma</math> (соответствующие нечётные суммы равны нулю).
Однако, коэффициенты при <math>z^2</math> и <math>z^4</math> зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в <math>\mathbb{C}P^2</math>:
- <math>
\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots, </math> где <math>g_2</math> и <math>g_3</math> — модулярные инварианты решётки <math>\Gamma</math>:
- <math>
g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma). </math>
Вложение эллиптических кривых в <math>\mathbb{C}P^2</math>
Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в <math>\mathbb{C}P^2</math>, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math> в <math>\mathbb{C}P^2</math> и выписать явно уравнение, задающее образ.
А именно, рассмотрим отображение <math>F:E\to \mathbb{C}P^2</math>, задаваемое вне точки <math>z=0</math> как <math>F(z)=(\wp(z),\wp'(z))\in \mathbb{C}^2.</math> Поскольку функция <math>\wp</math> мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из <math>E</math> в <math>\mathbb{C}P^2</math>.
Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции <math>\wp(z)</math>, так и функции <math>\wp'(z)</math> — это точка <math>z=0</math>. Более того, поскольку <math>\wp(z)</math> — чётная функция, <math>\wp'(z)</math> — нечётная, и, соответственно, <math>(\wp'(z))^2</math> — чётная. Функция <math>\wp(z)</math> имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса <math>(\wp')^2</math> могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней <math>\wp</math>. Явно подбирая коэффициенты из разложений
- <math>
\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots, </math>
- <math>
(\wp'_E(z))^2=\left(-\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2(\Gamma) z + \frac{1}{7}g_3(\Gamma) z^3 + \dots\right)^2 = \frac{4}{z^6} - \frac{2}{5} g_2(\Gamma) \frac{1}{z^2} - \frac{4}{7} g_3(\Gamma) + \dots, </math> видим, что разница
- <math>
\varphi(z)=(\wp_E'(z))^2-4\wp_E^3(z)+g_2(E) \wp(z) </math> в точке <math>z=0</math> неособая. Но <math>\varphi(z)</math> голоморфна и вне <math>z=0</math> (в силу голоморфности <math>\wp</math> и <math>\wp'</math>), поэтому <math>\varphi(z)</math> — голоморфная на всей компактной римановой поверхности <math>E</math> функция. В силу принципа максимума <math>\varphi(z)</math> — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным <math>-g_3(E)</math>. Окончательно, функция <math>(\wp'(z))^2 -4 \wp^3(z) + g_2(E) \wp(z) +g_3(E)</math> обращается на <math>E</math> в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения <math>F</math> это эллиптическая кривая в <math>\mathbb{C}P^2</math>, задаваемая уравнением
- <math>
y^2=4x^3-g_2(E) x - g_3(E). </math>
Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты <math>g_2</math> и <math>g_3</math> с соответствующими суммами обратных степеней <math>G_2(E)</math> и <math>G_3(E)</math>: благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую <math>g_2</math> и <math>g_3</math> — это в точности коэффициент при <math>x</math> и свободный член.
Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение
Для эллиптической кривой <math>E</math> задающая её решётка <math>\Gamma</math> не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре <math>(E,\omega)</math>, где <math>\omega</math> — ненулевая голоморфная 1-форма на <math>E</math>: в качестве <math>\omega</math> можно взять проекцию на <math>E</math> формы <math>dz</math> на <math>\mathbb{C}</math>, тогда <math>\Gamma</math> восстанавливается как набор всевозможных интегралов <math>\omega</math> по петлям на торе <math>E</math>:
- <math>
\Gamma=\left\{\int_{\gamma} \omega \mid \gamma\in H_1(E) \right\} </math>
На эллиптической кривой <math>y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)</math>, являющейся образом отображения <math>F=(\wp_E,\wp'_E)</math>, имеется голоморфная форма <math>\omega=\frac{dx}{y}</math>. Несложно видеть, что она является в точности образом формы <math>dz</math> на <math>E</math> при отображении <math>F</math>. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:
- Обратное отображение к отображению <math>F</math> ищется как интеграл формы <math>\omega</math>:
- <math>
z(x,y)= \int_{\infty}^{(x,y)} \frac{dx}{y}, </math> где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой <math>F(E)</math>. Бесконечно удалённая точка на кривой <math>F(E)</math> при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки <math>z=0</math>, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов <math>\Gamma</math>.
- Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как
- <math>
\wp_E^{-1}(x) = \int_{\infty}^x \frac{dx}{\pm\sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}. </math> (выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент <math>\Gamma</math>).
- Решётка <math>\Gamma</math> восстанавливается как множество интегралов формы <math>\frac{dx}{y}</math> по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой <math>y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)</math>.
Сложение точек на эллиптической кривой
Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math> это просто сложение точек <math>\mathbb{C}</math>. Для «геометрического» — как вложенной в <math>\mathbb{C}P^2</math> кривой <math>y^2=4x^3+px+q</math> — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».
Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение <math>F=(\wp(z),\wp'(z))</math> переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:
- <math>
\det\begin{bmatrix} \wp(u) & \wp'(u) & 1\\ \wp(v) & \wp'(v) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1 \end{bmatrix}=0</math> для любых <math>u+v+w=0</math>. Также, ввиду чётности <math>\wp</math> и нечётности <math>\wp'</math>, оно может быть записано как
- <math>
\det\begin{bmatrix} \wp(z) & \wp'(z) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1\\ \wp(z+w) & -\wp'(z+w) & 1 \end{bmatrix}=0</math>
Применение в голоморфной динамике
С помощью <math>\wp</math>-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв <math>\Gamma=\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z} \}</math>, можно рассмотреть отображение <math>D</math> удвоение на торе <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math>:
- <math>
D(z) = 2z \, \mod \mathbb{Z}[i]. </math> Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.
С другой стороны — отображение <math>D</math> корректно спускается на фактор <math>S^2=E/(z\sim -z)</math>. Поэтому отображение D отображением <math>\wp</math> полусопряжено некоторому рациональному отображению <math>R:\mathbb{C}P^1\to \mathbb{C}P^1</math>:
- <math>
\wp \circ D = R\circ \wp. </math>
Иными словами,
- <math>
R(z)=\wp(2 \wp^{-1}(z)). </math>
Для такого отображения <math>R</math> образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа <math>J(R)=\mathbb{C}P^1</math>, а множество Фату, соответственно, пусто.
Наконец, несложно видеть, что степень отображения <math>R</math> равна четырём (поскольку отображение <math>z\mapsto 2z</math> на торе имеет степень 4), и его коэффициенты <math>R</math> можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора <math>R</math> в нуле через ряд Лорана для <math>\wp</math> (и, соответственно, для <math>\wp^{-1}</math>).
Примечания
Ссылки
Литература
- J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of <math>\mathbb{R}^2</math>, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
- A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2
