Русская Википедия:Эллиптический оператор

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Эллиптический оператор — дифференциальный оператор 2-го порядка в частных производных. Является частным случаем гипоэлиптического оператора

Определение

Дифференциальный оператор <math>L = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}(\mathbf{x}) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k(\mathbf{x}) \frac{\partial}{\partial x_k} + c</math> называется эллиптическим оператором, если квадратичная форма <math>\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}(\mathbf{x}) \xi_i \xi_j </math> имеет один и тот же знак для всех <math>\mathbf{x}</math>.

Применение эллиптических операторов

Эллиптические операторы применяются для исследования и решения эллиптических уравнений. Любое эллиптическое уравнение можно записать в виде <math>Lu = f</math>. Так же свойства операторов используются при построении численных методов для решения уравнений. В некоторых случаях эти результаты обобщаются на параболические и гиперболические уравнения (при дискретизации этих уравнений только по времени, получаются эллиптические уравнения для каждого временного слоя).

Примеры эллиптических операторов

• Оператор Лапласа, записывается в виде <math>L = \nabla \cdot \nabla</math>
• Обобщения оператора Лапласа, оператор вида <math>L = -\nabla \cdot p(\mathbf{x}) \nabla + q(\mathbf{x})</math>, где <math>p(\mathbf{x}) > 0, \ q(\mathbf{x}) \ge 0 </math>. Собственные значения такого оператора находятся из задачи Штурма-Лиувилля. На множестве функций <math>H_0(\Omega) = \left \{u \in H(\Omega), \Bigl. u \Bigr|_{\partial \Omega} = 0 \right\}</math> (<math>H(\Omega)</math> пространство Лебега на <math>\Omega</math>) данный оператор является самосопряжённым и положительно определённым.
• Примером нелинейного эллиптического оператора является оператор <math>Lu = \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left( |\nabla u| \frac{\partial u}{\partial x_i}\right)</math>