Русская Википедия:Эллиптический фильтр
Шаблон:Линейные электронные фильтры
Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра, или фильтр Золотарёва) — электронный фильтр, характерной особенностью которого являются пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров. При цитировании важно помнить что в западной литературе называется исключительно фильтром Кауэра, в соответствии с первенством описания в работах по теории цепей и телефонии. Золотарев, ученик Чебышева, лишь развивал его теорию и не остался в истории связи за пределами России; телефония появился лишь незадолго до его смерти. Поэтому часто применяют компромиссный термин "эллиптический" фильтр.
Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.
Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:
- <math>
G_n(\omega) = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\xi,\omega/\omega_0)}} </math>
где Rn — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и
- <math>\omega_0</math> — частота среза
- <math>\epsilon</math> — показатель пульсаций (Шаблон:Lang-en)
- <math>\xi</math> — показатель селективности (Шаблон:Lang-en)
Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.
Свойства
- В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. АЧХ в полосе пропускания, таким образом, варьирует от единицы до <math>1/\sqrt{1+\epsilon^2}</math>.
- В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения <math>L_n</math>, которое определяется как:
- <math>L_n=R_n(\xi,\xi).</math>
- АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до <math>1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}.</math>
- Предельный случай <math>\xi \rightarrow \infty</math> превращает эллиптическую функцию в многочлен Чебышёва, и, таким образом, эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода с показателем пульсаций <math>\varepsilon.</math>
- Так как фильтр Баттерворта является предельным случаем фильтра Чебышёва, то при выполнении условий <math>\xi \rightarrow \infty,</math> <math>\omega_0 \rightarrow 0</math> и <math>\epsilon \rightarrow 0</math> так что <math>\epsilon\,R_n(\xi,1/\omega_0)=1</math> эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта.
- Предельный случай <math>\xi \rightarrow \infty,</math> <math>\epsilon \rightarrow 0</math> и <math>\omega_0\rightarrow 0</math> так что <math>\xi\omega_0=1</math> и <math>\epsilon L_n=\alpha</math> превращает эллиптический фильтр в фильтр Чебышёва II рода с АЧХ:
- <math>G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\alpha^2 T^2_n(1/\omega)}}}.</math>
Полюсы и нули
Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.
Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса <math>(\omega_{pm})</math> эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту <math>s=\sigma+j\omega,</math> получим:
- <math>1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0</math>
Пусть <math>-js=\mathrm{cd}(w,1/\xi)</math>, где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:
- <math>1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0</math>
где <math>K=K(1/\xi)</math> and <math>K_n=K(1/L_n)</math>. Разрешив относительно w
- <math>w=\frac{K}{nK_n}\mathrm{cd}^{-1}\left(\frac{\pm j}{\epsilon},\frac{1}{L_n}\right)+\frac{mK}{n},</math>
где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m.
Полюса эллиптической функции в таком случае:
- <math>s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi).</math>
Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме [1]
- <math>s_{pm}=\frac{a+jb}{c},</math>
- <math>a=-\zeta_n\sqrt{1-\zeta_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/\xi^2},</math>
- <math>b=x_m\sqrt{1-\zeta_n^2(1-1/\xi^2)},</math>
- <math>c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2,</math>
где <math>\zeta_n</math> — функция от <math>n,\,\epsilon</math>, а <math>\xi</math> и <math>x_m</math> — нули эллиптической функции. Функция <math>\zeta_n</math> определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем
- <math>\zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}},</math>
- <math>\zeta_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+\epsilon^2}+\sqrt{(1-t)^2+\epsilon^2(1+t)^2}},</math>
где
- <math>t=\frac{1}{\sqrt{1-1/\xi^2}}.</math>
Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для <math>\zeta_n</math>:
- <math>\zeta_{m\cdot n}(\xi,\epsilon)=
\zeta_m\left(\xi,\sqrt{\frac{1}{\zeta_n^2(L_m,\epsilon)}-1}\right),</math>
где <math>L_m=R_m(\xi,\xi).</math>
Эллиптические фильтры с минимальной добротностью
См.[2] Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как:
- <math>Q =-\frac{|s_{pm}|}{2\mathrm{Re} (s_{pm})} = -\frac{1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}</math>
и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:
- <math>\epsilon_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi)}}</math>
Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.
Сравнение с другими линейными фильтрами
На рисунке представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров 5-го порядка.
Как следует из графиков, эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает самыми большими пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.
См. также
- Цифровая обработка сигналов
- Цифровая обработка изображений
- Электронный фильтр
- Решётчатый фильтр
- БИХ-фильтр
Библиография
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Примечания
Ссылки
- Расчет эллиптического фильтра с примерами
- Фильтры нижних частот
- Расчёт рекурсивных фильтров
- Сравнение линейных фильтровШаблон:Ref-en
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
