Русская Википедия:Эллиптическое уравнение
Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.
Определение
Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции <math> u : R^n \rightarrow R </math>:
- <math> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: <math> a_{ij} = a_{ji} </math>. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:
- <math>\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>,
где <math>A = A^T</math>.
Матрица <math>A</math> называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы <math>A</math> имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:
- <math> Lu = f(x_1,\ldots , x_{n}) </math>,
где <math>L</math> — эллиптический оператор.
Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.
Решение эллиптических уравнений
Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.
Примеры эллиптических уравнений
В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.
- Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.
- Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
- Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. Такие получаются, из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях является уравнение Гельмгольца.
- Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса, для устоявшегося течения.
А также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.
См. также
Примечания
