Русская Википедия:Эндоморфизм Фробениуса
Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики <math>p</math>, задаётся формулой <math>x\mapsto x^p</math>. В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.
Определение и базовые свойства
Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо простой характеристики <math>p</math> (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца <math>R</math> определяется формулой <math>F(x)=x^p</math>. Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как <math>(xy)^p=x^py^p, (x+y)^p=x^p+y^p</math> (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на <math>p</math>).
Если <math>\varphi:R\to S</math> — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики <math>p</math>, то <math>\varphi (x^p)=(\varphi(x))^p</math>, то есть: <math>\varphi\circ F_R=F_S\circ\varphi</math>.
Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики <math>p</math>) в себя.
Если кольцо <math>R</math> не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если <math>x</math> — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени <math>n</math>, то <math>(x^{n-1})^p=0</math>. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если <math>R</math> является полем. Например, пусть <math>R=\mathbb F_p(t)</math> — поле рациональных функций с коэффициентами в <math>\mathbb F_p</math>, тогда функция <math>t</math> не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.
Поле <math>K</math> называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.
Неподвижные точки
Рассмотрим конечное поле <math>\mathbb F_p</math>. Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению <math>x^p=x</math>. Уравнение <math>p</math>-й степени не может иметь более <math>p</math> корней, следовательно, в любом расширении поля <math>\mathbb F_p</math> неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля <math>\mathbb F_p</math>. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики <math>p</math>.
Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если <math>\mathbb F_{p^k}</math> — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению <math>x^{p^k}=x</math> и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками <math>k</math>-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками <math>x\mapsto x^{p^k}</math>.
Порождающий элемент группы Галуа
Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть <math>\mathbb F_q</math> — конечное поле, где <math>q=p^n</math>. Эндоморфизм Фробениуса <math>F</math> сохраняет элементы простого поля <math>\mathbb F_p</math>, поэтому он является элементом группы Галуа расширения <math>\mathbb F_q\supset\mathbb F_p</math>. Оказывается, что эта группа является циклической и порождается <math>F</math>. Порядок этой группы равен <math>n</math>, так как эндоморфизм <math>x\mapsto x^q</math> действует на <math>\mathbb F_q</math> тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.
В расширении <math>\mathbb F_{q^k}\supset\mathbb F_q</math> основное поле фиксируется <math>n</math>-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается <math>F^n</math> и имеет порядок <math>k</math>.
Эндоморфизм Фробениуса для схем
См. также
Литература
