Русская Википедия:Энстрофия

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Механика сплошных сред В гидродинамике энстрофия Шаблон:Mathcal может интерпретироваться как другой тип Шаблон:Iw; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области <math>\Omega \subseteq \R^n</math> и однократно слабо дифференцируемого векторного поля <math>u \in H^1(\R^n)^n</math>, которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:

<math>\mathcal{E}(u):= \int_\Omega |\nabla \mathbf{u}|^2 \, dx, </math>

где <math> |\nabla \mathbf{u}|^2 = \sum_{i,j=1}^n \left| \partial_i u^j \right|^2 </math>. Эта величина совпадает с квадратом полунормы <math>|\mathbf{u}|_{H^1(\Omega)^n}^2</math>решения в пространстве Соболева <math>H^1(\Omega)^n</math>.

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, <math> \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 </math>, энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность <math> \mathbf{\omega} </math>,

<math> \mathcal{E}(\boldsymbol \omega) \equiv \int_\Omega |\boldsymbol \omega|^2 \,dx </math>

или, с точки зрения скорости потока,

<math> \mathcal{E}(\mathbf{u}) \equiv \int_{S} |\nabla \times \mathbf u|^2 \,dS \,. </math>

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате

<math> \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \int_\Omega |\mathbf{u}|^2 \right) = - \nu \mathcal{E}(\mathbf{u}) . </math>

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости <math> \nu </math>, умноженной на энтрофию.

Источники

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Внешние ссылки