Русская Википедия:Эпсилон-сеть

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества <math>M</math> метрического пространства <math>X</math> есть множество <math>Z</math> из того же пространства <math>X</math> такое, что для любой точки <math>x\in M</math> найдётся точка <math>z\in Z</math>, удалённая от <math>x</math> не более чем на Шаблон:Mvar.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором для каждого <math>\varepsilon> 0</math> существует конечная <math>\varepsilon</math>-сеть, называется вполне ограниченным.

• Метрика <math>\rho</math> на множестве <math>X</math> называется вполне ограниченной, если <math>(X,\rho)</math> — вполне ограниченное метрическое пространство.

• Семейство метрических пространств <math>(X_\alpha,\rho_\alpha)</math> таких, что для любого <math>\varepsilon>0</math> есть натуральное число <math>N_\varepsilon</math> такое, что каждое пространство <math>(X_\alpha,\rho_\alpha)</math> допускает <math>\varepsilon> 0</math>-сеть из не более чем <math>N_\varepsilon</math> точек называется универсально вполне ограниченной.
  • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

• Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — Шаблон:Mvar-сеть для множества вещественных для любого Шаблон:Math.
• Множество целых чисел — Шаблон:Mvar-сеть для множества вещественных для <math>\varepsilon\ge 0{,}5</math>

Свойства

• Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества <math>M</math> метрического пространства <math>X</math> необходимо, а в случае полноты пространства <math>X</math> и достаточно, чтобы при любом <math> \varepsilon > 0 </math> существовала конечная Шаблон:Mvar-сеть из элементов множества <math>M</math>.

Шаблон:Hider^{(n)} \}</math>. Рассмотрим произвольную последовательность <math>\{ x_{n} \} \in M </math>. Так как <math>N_{1}</math> есть <math>\varepsilon_{1}</math>-сеть для <math>M</math>, то, каков бы ни был элемент <math>x \in M</math>, будем иметь, что <math> \rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1} </math> для хотя бы одного элемента <math>z_{i}^{(1)} \in N_{1}</math>. Поэтому любой элемент <math>x \in M</math> попадает хотя бы в один шар <math>S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}</math>, то есть все множество <math>M</math>, а тем более вся последовательность <math>\{ x_{n} \} </math> разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность <math>\{ x_{n} \} </math> бесконечна, то найдется хотя бы один шар <math >S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})</math>, который будет содержать бесконечную подпоследовательность <math>\{ x_{n}^{(1)} \} </math> нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для <math>N_{m}, m = 2, 3, \ldots</math>. Составим диагональную подпоследовательность <math>x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots</math>. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как <math>x_{k}^{(k)}</math> и <math>x_{k+p}^{(k+p)}</math> при <math>p>0</math> входят в <math>k</math>-ю подпоследовательность, а <math>k</math>-я подпоследовательность содержится в шаре <math>S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})</math>, то <math> \rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0</math> при <math>k \rightarrow \infty</math>. По предположению, пространство <math>X</math> полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности <math>\{ x_{k}^{(k)} \} </math> следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности <math>\{ x_{n} \} </math> сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества <math>M.</math> }}

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon> 0</math> в нём существует компактная Шаблон:Mvar-сеть.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Шаблон:Книга