Русская Википедия:Эргодичность
Шаблон:Falseredirect Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.
Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.
Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.
Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.
Определение
Пусть <math>(X,\; \Sigma ,\; \mu\,)</math> есть вероятностное пространство и <math>T:X \to X</math> — отображение, сохраняющее меру.
Отображение T эргодично по отношению к <math>\mu</math>, если выполнено следующее условие:
для любого T-инвариантного подмножества <math> E \in \Sigma</math> (то есть такого, что <math>T^{-1}(E)=E</math>) либо <math>\mu(E)=0</math>, либо <math>\mu(E)=1</math>.
Замечания
Определение эквивалентно следующим условиям,
- Для любого подмножества <math> E \in \Sigma</math> положительной меры имеем
- <math>\mu\left( \bigcup_{n=1}^\infty T^{-n} E \right) = 1</math>;
- Для любых двух множеств E и H положительной меры существует n > 0 такое, что *:<math>\mu((T^{-n}E)\cap H)>0</math>;
- Любая T-инвариантная измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> почти везде постоянна.
См. также
Литература
- В. И. Арнольд, А. Авец. Эргодические проблемы классической механики. — Москва—Ижевск: РХД, 1999.
- И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.
- Книга:Каток А.Б, Хасселблат Б: Введение в современную теорию динамических систем
- Книга:Каток А.Б., Хасселблат Б.: Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений
- Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики, М. — Л., 1943.
- Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949.
- Халмош П. Лекции по эргодической теории: пер. с англ. — М., 1959.
- G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
- J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
- J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.
Ссылки
