Русская Википедия:Эта-функция Дирихле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа Шаблон:Math, у которого действительная часть больше 0:

<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \dots</math>

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана Шаблон:Math, поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как Шаблон:Math. Выполняются следующие равенства:

<math>\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s),</math>

<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int\limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{dx}.</math>

(<math>\Gamma(s)</math> — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:

<math>\eta(s) = -\operatorname{Li}_s(-1) \qquad (\operatorname{Re}s>0),</math>

<math>\zeta(s) = \operatorname{Li}_s(1)\qquad (\operatorname{Re}s>1).</math>

Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение

<math>\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1),</math>

которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Шаблон:Math.

Нули

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки Шаблон:Math такие, что <math>s_n=1+2n\pi i/\ln 2,</math> где <math>n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}</math> (целое число, не равное 0).

Значения в некоторых точках

<math>\!\ \eta(1) = \ln 2 \approx 0{,}69314718.</math>

<math>\eta(2) = {\pi^2 \over 12} \approx 0{,}82246703.</math>

<math>\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720} \approx 0{,}94703283.</math>

<math>\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240} \approx 0{,}98555109.</math>

<math>\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600} \approx 0{,}99623300.</math>

<math>\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880} \approx 0{,}99903951.</math>

<math>\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}} \approx 0{,}99975769.</math>

Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:

<math>\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}},</math>

где <math>B_k</math> — числа Бернулли.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite arXiv