Русская Википедия:Эффект Лутца — Келкера

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Эффект Лутца—Келкера, смещение Лутца—Келкера (Шаблон:Lang-en) — систематическое смещение (систематическая погрешность), возникающее вследствие предположения о том, что количество наблюдаемых звёзд возрастает прямо пропорционально квадрату расстояния. В частности, данное смещение приводит к тому, что измеренные значения параллакса звёзд оказываются выше истинных значений. При измеренном параллаксе и его неопределённости как более близкие, так и более далёкие звёзды в пределах неопределённостей попадают в один и тот же интервал значений параллаксов. Но в сферических слоях на больших расстояниях расположено больше объектов, что приводит к смещению результатов измерений, вследствие чего, например, вычисляемые значения светимостей и расстояний окажутся заниженными. Первое описание эффекта было дано в статье Томаса Лутца (Шаблон:Lang-en) и Дугласа Келкера (Шаблон:Lang-en).[1] Существование данного смещения и необходимость коррекции оценок измеренных величин стали особо актуальными после высокоточных измерений параллаксов, осуществлённых спутником Hipparcos.

При данном значении параллакса и известной неопределённости звёзды как более близкие, так и более далёкие, вследствие неопределённости измерения могут оказаться имеющими одинаковое значение измеренного параллакса. Если предположить однородное распределение звёзд, то количество звёзд в расчёте на единицу параллакса будет пропорционально <math>1/p^4</math> (здесь <math>p</math> показывает истинное значение параллакса), и, следовательно, на больших расстояниях в единичную сферическую оболочку попадёт большее количество звёзд. В результате у большего количества звёзд истинное значение параллакса будет меньше, чем наблюдаемое.[2][3] Следовательно, измеренный параллакс будет систематически смещаться в сторону большего значения, чем истинное. При этом полученное значение светимостей и расстояний окажется заниженным, что в дальнейшем может сказаться на других методах оценки расстояний, по светимостям.

Метод коррекции, предложенный Лутцом и Келкером, применим только в случае справедливости трёх предположений. Стандартное отклонение должно быть много меньше среднего значения, поскольку в противном случае возможно возникновение отрицательных расстояний. Наблюдаемые объекты должны быть равномерно распределены в пространстве, так что количество объектов на расстоянии d пропорционально d2. Также наблюдаемые объекты должны быть достаточно яркими для того, чтобы быть доступными для наблюдения в пределах рассматриваемых расстояний.[4]

Математическое описание

Первоначальное описание

Функция распределения

С математической точки зрения смещение Лутца-Келкера возникает из зависимости количественной плотности от наблюдаемого параллакса, что можно выразить с помощью условной вероятности измерения параллакса. Предположим, что наблюдаемый параллакс имеет нормальное распределение относительно истинного параллакса вследствие ошибок измерения. Тогда мы можем записать функцию распределения условной вероятности измеренного параллакса <math>p_o</math>, если истинное значение параллакса равно <math>p</math>:

<math>g(p_o|p) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \exp{\Big(\dfrac{-(p_o-p)^2}{2\sigma^2}\Big)}</math>

Поскольку в задачах определяется истинное значение параллакса по наблюдениям, то необходимо вывести условную вероятность истинного параллакса <math>p</math> при имеющемся наблюдаемом параллаксе <math>p_o</math>. При первоначальном рассмотрении явления Лутцом и Келкером данная вероятность, согласно теореме Байеса, была представлена в виде

<math>g(p|p_o) = \dfrac{g(p_o|p) \ g(p)}{g(p_o)},</math>

где <math>g(p) dp</math> и <math>g(p_o) dp_o</math> — априорные вероятности истинного и наблюдаемого параллакса, соответственно.

Зависимость от расстояния

Плотность вероятности обнаружения звезды с видимой звёздной величиной <math>m</math> на расстоянии <math>s</math> можно записать в виде

<math>h(s|m) = \dfrac{h(m|s)\ h(s)}{h(m)}</math> <math>h(m|s)</math> будет зависеть от функции светимости звезды, связанной с абсолютной звёздной величиной объекта. <math>h(m)</math> является функцией плотности вероятности видимой звёздной величины, не зависящей от расстояния. Вероятность того, что звезда находится на расстоянии <math>s</math>, пропорциональна <math>s^2</math>, так что

<math>h(s) \propto n(s) \ s^2</math>

Если предположить равномерное распределение звёзд в пространстве, то количественная плотность <math>n(s)</math> будет постоянной, поэтому можно переписать выражение в виде

<math>g(p) \ dp = h(s|m) \ \Bigg | \dfrac{\partial s}{\partial p} \Bigg |_m \ dp \propto s^2 \Bigg | \dfrac{\partial s}{\partial p} \Bigg |_m dp</math>, где <math>s = 1/p</math>.

Поскольку мы рассматриваем распределение вероятности истинного значения параллакса на основе фиксированного наблюдаемого параллакса, мы можем сделать вывод, что для распределения справедлива пропорциональность[3]

<math>g(p|p_o) \propto g(p|p_o) \ p^{-4}</math> и, следовательно,

<math>g(p|p_o) \propto \dfrac{1}{p^4} \exp\Big({-\dfrac{(p-p_o)^2}{2 \ \sigma^2}}\Big)</math>

Нормализация

Условная вероятность для истинного значения параллакса на основе наблюдаемого параллакса расходится вблизи нуля для истинного параллакса. Следовательно, нельзя нормировать данную вероятность. Следуя первоначальному описанию смещения,[2] мы можем ввести нормализацию, учтя наблюдаемый параллакс, как

<math>g(p|p_o) \propto \Big(\dfrac{p_o}{p}\Big)^4 \ \exp\Big({-\dfrac{(p-p_o)^2}{2 \ \sigma^2}}\Big) </math>

Включение <math>p_o </math> не меняет пропорциональность, поскольку является фиксированной константой. does not affect proportionality since it is a fixed constant. При такой нормализации мы получим вероятность 1 при равенстве истинного параллакса и наблюдаемого вне зависимости от ошибок измерения. Следовательно, можно ввести безразмерный параллакс <math>Z := p/p_o </math> и получить безразмерное распределение истинного параллакса

<math>G(Z) \propto Z^{-4} \ \exp\Big({-\dfrac{(Z-1)^2}{2 \ (\sigma/ p_o)^2}}\Big) </math>

Здесь <math>Z=1 </math> означает точку, в которой измеренный параллакс совпадает с истинным, то есть распределение вероятности должно иметь центр в данной точке. Однако такое распределение вследствие наличия множителя <math>Z^{-4} </math> будет отклоняться от точки <math>Z=1 </math> в сторону меньших значений. Это и есть проявление систематического смещения Лутца-Келкера. Значение смещения определяется значением <math>\sigma / p_o</math>, неопределённостью измерения параллакса.

Исследование эффекта

Первоначальное объяснение

Изначально считалось, что смещение Лутца-Келкера можно объяснить только наличием неопределённости измерения параллаксов.[2] В результате зависимости параллакса от распределения звёзд меньшие неопределённости наблюдаемого параллакса приведут к малому смещению относительно истинного значения. Чем выше неопределённость, тем сильнее будет систематическое отклонение наблюдаемого параллакса относительно истинного. Большие ошибки в измерении параллакса проявятся в вычислении светимостей, что даст возможность отследить наличие больших неопределённостей. В первоначальном описании эффекта смещение считалось значимым, когда неопределённость наблюдаемого параллакса <math>\sigma</math> становилась близка к 15% от измеряемой величины, <math>p_o</math>.[2] Утверждалось, что если неопределённость параллакса составляет по крайней мере 15–20%, то смещение оказывается настолько существенным, что мы теряем большую часть информации о параллаксе и расстоянии. Ряд последующих работ опроверг этот вывод, поскольку к смещению могли приводить и другие факторы. Считается, что для большинства звёздных систем смещение не настолько сильное, насколько считалось изначально.

Последующие исследования

Во многих работах исследовалось само явление смещения, его наличие и способы внесения поправок.[5][6][7][8] В некоторых статьях утверждалось, что предположение об однородном распределении звёзд может быть неприменимым в зависимости от выбора звёздной подсистемы. Более того, различное распределение звёзд в пространстве наряду с наличием ошибок измерения приведёт к различным видам смещения.[6] Таким образом, смещение зависит от выборки звёзд и распределения ошибок измерения, хотя понятие смещения Лутца-Келкера применяется в целом для описания явления для произвольной выборки звёзд. Также неизвестно, как согласуются другие источники ошибок и смещений (например, сдвиг Малмквиста) со смещением Лутца-Келкера: усиливают ли они общее смещение или, наоборот, смещают оценку в противоположные стороны.[9]

Недавно исследования наличия эффекта Лутца-Келкера стали особенно важны в свете высокоточных измерений, проводимых в рамках миссии Gaia, при учёте возможного различия функций распределения ошибок измерений.[10] По-прежнему важно с осторожностью относиться к влиянию смещения при отборе образцов, поскольку распределение звёзд, как ожидается, будет неоднородным на больших масштабах расстояний. В результате возникает вопрос, применимы ли методы коррекции, включая поправку Лутца-Келкера, предложенную в первоначальной работе, к данной выборке звёзд, поскольку ожидается, что эффекты будут зависеть от распределения звёзд. Более того, если следовать исходному описанию и зависимости смещения от погрешностей измерения, ожидается, что влияние смещения будет ниже из-за более высокой точности современных инструментов, таких как Gaia.

Примечания

Шаблон:Примечания