Русская Википедия:Эффект Шубникова — де Хааза

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Эффект Шубникова — де Хааза (эффект Шубникова — де Гааза) назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.

Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока. Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе (ДЭГ).

Причина возникновения

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

<math>E^{LL}_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right),</math>

где <math>\hbar</math> — постоянная Планка, <math>\omega_c=\frac{eB}{m^*c}</math> — циклотронная частота осциллятора Ландау, <math>m^*</math> — эффективная масса электрона, <math>n=0,1,2...</math> — номер уровня Ландау, <math>c</math> — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ <math>DOS(\varepsilon)</math> в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

<math>DOS(\varepsilon)=\sum_{n=1}^{\infty}{\delta\left(\varepsilon-\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)}.</math>

Пусть уровень Ферми <math>E_F</math> зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии <math>E_F=E^{LL}_n</math> уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода <math>\Delta\left(\frac{1}{B}\right)</math> определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

<math>n_{2DEG}=\frac{2e}{h}\frac{1}{\Delta(1/B)},</math>

где <math>e</math> — заряд электрона, <math>h</math> — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Двумерный случай

Рассмотрим вырожденный двумерный газ (находящийся на плоскости <math>xy</math>) невзаимодействующих (свободных) электронов с эффективной массой <math>m^*</math>. Сильное магнитное поле <math>\boldsymbol B</math> направлено перпендикулярно плоскости и выполнено неравенство <math>\omega_c \tau\gg1</math> (<math>\omega_c=eB/m^*c</math> — циклотронная частота), то есть энергетический спектр квантован. Температуру <math>T</math> полагаем достаточно низкой, а уширение уровней Ландау за счет рассеяния электронов меньшим, чем расстояние между уровнями <math>\hbar \omega_c\gg T,\hbar /\tau</math>, <math>\tau</math> — время свободного пробега. В этом случае зависимость компонент тензора электропроводности от магнитного поля имеет вид:

<math>\sigma_{xx}=\sigma_{yy}=\frac{\sigma_{0}}{1+\left(\omega_{c}\tau\right)^{2}}\left[ 1+\frac{2{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}}}{1+{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}}}\frac{\Delta \nu }{\nu_{0}} \right]</math>,

<math>\sigma_{xy}=-\sigma_{yx}=-\frac{\sigma_{0}\omega_{c}\tau }{1+{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}}}\left\{ 1-\frac{3{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}}+1}{{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}}\left[ 1+{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}} \right]}\frac{\Delta \nu }{\nu_{0}} \right\}</math>,

где <math>\sigma_0</math> — электропроводность в отсутствии магнитного поля, определяемая формулой Друде.

Осцилляции электропроводности при изменении поля описывается отношением осциллирующей части плотности состояний <math>\Delta \nu</math> к плотности состояний в отсутствие магнитного поля, <math>\nu_{0}\gg \Delta \nu </math>:

<math>\frac{\Delta \nu }{\nu_{0}}=2\sum\limits_{s=1}^{\infty }{\exp \left( -\frac{\pi s}{\omega_{c}\tau } \right)}\frac{2{{\pi }^{2}}T/\left( \hbar \omega_{c} \right)}{\sinh \left( 2{{\pi }^{2}}T/\left( \hbar \omega_{c} \right) \right)}\cos \left( \frac{2\pi s{{\varepsilon }_{F}}}{\hbar \omega_{c}}-\pi s \right)</math>,

где <math>\varepsilon_F</math> — энергия ФермиШаблон:Sfn.

Компоненты тензора сопротивления <math>{{\rho }_{ik}}</math> , обратного тензору проводимости, <math>\sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}</math>, имеют простой видШаблон:Sfn:

<math>{{\rho }_{xx}}=\frac{1}{\sigma_{0}}\left( 1+2\frac{\Delta \nu }{\nu_{0}} \right)</math>,

<math>{{\rho }_{xy}}=\frac{\omega_{c}\tau }{\sigma_{0}}\left( 1-\frac{1}{{{\left( \omega_{c}\tau \right)}^{2}}}\frac{\Delta \nu }{\nu_{0}} \right)</math>.

Приведенные формулы справедливы в случае, когда можно пренебречь зеемановским расщеплением квантовых уровней (<math>g_{zz}\mu_BB \ll \hbar\omega_c</math>, <math>\mu_B</math> — магнетон Бора, <math>g_{zz}</math> — компонента тензора g—фактора электронов).

Трёхмерный случай

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газаШаблон:Sfn

<math>

\sigma_{xx}=\sigma_0\left(1+\sum^{\infty}_{r=1}b_r\cos{\left(2\pi\eta r-\frac{\pi}{4}\right)}\right) </math>

<math>

b_r=(-1)^r\frac{5}{2}\frac{1}{(2\eta r)^{1/2}}\cdot \frac{\frac{2\pi^2 rk_BT_e}{\hbar\omega_c}}{\mathrm{sh}{2\pi^2rk_BT_e \over \hbar\omega_c}} \cdot e^{-2\pi^2rk_BT_D \over \hbar\omega_c}\cos{\pi grm^{*}\over 2m_{0}}</math> где <math>\eta=E_F/\hbar\omega_c</math>, <math>T_D</math> — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению <math>\Gamma</math> уровня как <math>\pi k_BT_D=\Gamma</math>, <math>k_B</math> — постоянная Больцмана, <math>T_e</math> — температура электронного газа, <math>g</math> — множитель Ландэ для электрона (<math>g</math>-фактор), <math>m_{0}</math> — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа (с учётом рассеяния на акустических фононах) запишется в видеШаблон:Sfn

<math>

\sigma_{xx}=\sigma_{0L}\left(1-\sum^{\infty}_{r=1}b_r\cos{\left(2\pi\eta r-\frac{\pi}{4}\right)}\right) </math>

<math>

b_r=(-1)^r\frac{1}{(2\eta r)^{1/2}}\cdot\frac{\frac{2\pi^2rk_BT_e}{\hbar\omega_c}}{\mathrm{sh}{2\pi^2rk_BT_e \over \hbar\omega_c}}\cdot e^{-2\pi^2rk_BT_D \over \hbar\omega_c} \cos{\pi grm^{*} \over 2m_{0}}</math>

где <math>\sigma_{0L}=\frac{2e^2\hbar\rho v_s^2}{\pi\Xi^2k_BTm^{*}}\frac{E_F}{3}</math> (<math>\Xi</math> — деформационный потенциал, <math>v_s</math> — скорость звука, <math>T</math> — температура).

Произвольный закон дисперсии

При произвольном законе дисперсии электронов проводимости <math>\varepsilon \left( \mathbf{p} \right)</math> (<math>\mathbf{p}</math> — квазиимпульс) амплитуда и период осцилляций электропроводности зависят от геометрии Ферми поверхности <math>\varepsilon \left( \mathbf{p} \right)={{\varepsilon }_{F}}</math> (<math>{\varepsilon }_{F}</math> — энергия Ферми).

В отличие от эффекта де Гааза — ван Альфена, в эффекте Шубникова — де Гааза в осцилляционной зависимости компонент тензора электропроводности <math>{{\sigma }_{ik}}</math> (<math>i,k=x,y,z</math>) от магнитного поля помимо осцилляций плотности состояний (аналогично эффекту де Гааза — ван Альфена) появляются осцилляции, которые связаны с влиянием квантования Ландау на процессы рассеяния. Учёт в интеграле столкновений кинетического уравнения квантования энергетического спектра и влияния электрического поля <math>\mathbf{E}</math> на энергию электрона, показало, что вклад процессов рассеяния в амплитуду осцилляций Шубникова — де Гааза поперечных компонент <math>\sigma_{xx}</math>, <math>\sigma_{yy}</math> (магнитное поле <math>\mathbf{H}</math> направлено вдоль оси <math>z</math>) в скрещенных полях (<math>\mathbf{E}\bot \mathbf{H}</math>) является определяющим. Относительная осциллирующая добавка к диагональным компонентам тензора проводимости <math>\Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma}_{ii}</math> в квазиклассическом приближении имеет порядок:

<math>\frac{\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{{\sigma }_{zz}}}\sim \frac{\Delta {{\sigma }_{xx}}}{{{\sigma }_{xx}}}\sim \frac{\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu }^{-1}}\left( {{\varepsilon }_{F}} \right)\sum\limits_{m}{{{\left( \frac{m_{c}{{S}_{m}}}{H} \right)}^{2}}\frac{\partial M_{osc}}{\partial H}}</math>,

где <math>\nu \left( {{\varepsilon }_{F}} \right)</math> — плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми; <math>{{m}_{c}}=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_{F}}}</math> — циклотронная масса электрона; <math>{S}_{m}(\varepsilon_F)</math> — площади экстремальных сечений (<math>\partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0</math>) поверхности Ферми плоскостями <math>{p_{H}}=const</math>, где <math>p_H</math> — проекция квазиимпульса электрона на направление магнитного поля; <math>M_{osc}</math> — осциллирующая часть магнитного момента электронов. Суммирование по индексу <math>m</math> проводится по всем экстремальным сечениям. Согласно теории Лифшица — Косевича

<math>{{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left( \frac{c}{e\hbar H}{{S}_{m}}\mp \frac{\pi }{4}-2\pi \gamma \right)\cos \left( \pi\frac{m_c}{{{m}_{0}}} \right);

</math>

где

<math>A_{LK}=\frac{V}{\pi^2\sqrt{2\pi}\hbar^3}\left( \frac{e\hbar}{c} \right)^{3/2}\frac{S_{m}\sqrt{H}}{Шаблон:\left\; \right|}^{1/2}}\partial {{S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}\Psi \left( \frac{2\pi^2 T}{\hbar \omega_c} \right)</math>.

Формула справедлива при выполнении неравенств:

<math>T\ll \frac{\hbar eH}{{{m}_{c}}c}\ll {{\varepsilon }_{F}};\quad \frac{e\hbar H}{2{{m}_{0}}c}\ll {{\varepsilon }_{F}};</math>

где <math>V</math> — объём металла, <math>\Psi \left( z \right)=z/\sinh z</math>, <math>T</math> — температура, <math>m_0</math> — масса свободного электрона, <math>{{\omega }_{c}}=\frac{eH}{{{m}_{c}}c}</math> — циклотронная частота, <math>\gamma<1</math>, постоянная Больцмана <math>k_B=1</math>.

Период осцилляций по обратному магнитному полю равен:

<math>\Delta \left( \frac{1}{H} \right)=\frac{2\pi e\hbar }{c{{S}_{m}}}</math>.

См. также

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)
• Эффект де Гааза — ван Альфена

Литература

• Шаблон:Книга