Русская Википедия:Ядро (алгебра)
Шаблон:Другие значения Ядро в алгебре — характеристика отображения <math>\ f : A \rightarrow B</math>, обозначаемая <math>\ker\,f</math>, отражающая отличие <math>f</math> от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента <math>e</math>. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения <math>f</math> множество <math>\ker\,f</math> всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из <math>A</math>).
Если множества <math>A</math> и <math>B</math> обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то <math>\ker\,f</math> также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ <math>\mathrm{Im}\,f</math> и фактормножество <math>A / \ker\,f</math>.
Ядро линейного отображения
Ядром линейного отображения <math>f:\, V\to U</math> называется прообраз нулевого элемента пространства <math>U</math>:
- <math>\ker f = \{ x\in V: f(x) = 0 \}.</math>
<math>\ker f</math> является подпространством в <math>V</math>. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства <math>V</math>. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ <math>f</math> изоморфен факторпространству <math>V</math> по ядру <math>f</math>:
- <math>\mathrm{Im}\,f \simeq V / \ker f.</math>
Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность <math>V</math> конечна:
- <math> \dim\mathrm{Im}\,f = \dim V - \dim\ker f,</math>
а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:
- <math>f^{-1}(u) = v_0 + \ker f, EducationBot (обсуждение) f(v_0) = u, EducationBot (обсуждение) v_0\in V, ~ u\in U.</math>
Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.
Теория матриц
Любую прямоугольную матрицу <math>G</math> размера <math>m \times n</math>, содержащую элементы поля <math>K</math> (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор <math>g: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m</math> умножения векторов слева на матрицу:
- <math>g(v) = G v,EducationBot (обсуждение) v \in \mathbb{K}^n</math>
Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с <math>n</math> неизвестными
- <math>\left\{ \begin{matrix}
a_{1 1} x_1 + \ldots + a_{1 n} x_n = b_1; \\ \ldots ~~ \ldots ~~ \ldots ~~ \\ a_{m 1} x_1 + \ldots + a_{m n} x_n = b_m. \end{matrix}\right.</math>
можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора <math>\mathbf{b} = (b_1,\;\ldots,\;b_m)</math>, а задача о решении однородной системы уравнений (<math>\mathbf{b}=\mathbf{0}</math>) сводится к поиску ядра отображения <math>g</math>.
Пример
Пусть <math>f</math> будет линейным отображением <math>f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3</math> и:
- <math>f(\vec{x})= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ 0\end{pmatrix}.</math>
Тогда его ядро является векторным подпространством:
- <math>\ker f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \mid \lambda \in \mathbb R \right\}.</math>
Гомоморфизм групп
Если <math>f</math> — гомоморфизм между группами, то <math>\ker f</math> образует нормальную подгруппу <math>A</math>.
Гомоморфизм колец
Если <math>f</math> — гомоморфизм между кольцами, то <math>\ker f</math> образует идеал кольца <math>A</math>.
См. также
Литература
