Русская Википедия:Ядро (теория категорий)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения Ядро в теории категорий — категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма <math>f \colon X \to Y</math> — это «наиболее общий» морфизм <math>k \colon K \to X</math>, после которого применение <math>f</math> даёт нулевой морфизм.

Определение

Пусть <math>\mathcal C</math> — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма <math>f \colon X \to Y</math> — это уравнитель его и нулевого морфизма <math>0 \colon X \to Y</math>. Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:

Ядро <math>f \colon X \to Y</math> — это морфизм <math>k \colon K \to X</math>, такой что:

  • <math>f \circ k</math> — нулевой морфизм из <math>K</math> в <math>Y</math>:
    Файл:KerCat01.png
  • для любого морфизма <math>k' \colon K' \to X</math>, такого что <math>f \circ k'</math> — нулевой, существует единственный морфизм <math>u \colon K' \to K</math>, такой что <math>k \circ u = k'</math>:
    Файл:KerCat02.png

Примеры

Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если <math>f \colon X \to Y</math> — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.

Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.

Связь с другими категорными понятиями

Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.

Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.

В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его Шаблон:Iw. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Ядро_(теория_категорий)&oldid=11424324